В прямоугольном треугольнике ABC угол C – прямой. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D. Известно, что BC = 7, а радиус вписанной окружности равен r = 2. Найдите длину хорды, соединяющей точки пересечения окружности с прямой BD.

Question

Вопрос:

В прямоугольном треугольнике ABC угол C – прямой. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D. Известно, что BC = 7, а радиус вписанной окружности равен r = 2. Найдите длину хорды, соединяющей точки пересечения окружности с прямой BD.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткая запись:

Треугольник ABC - прямоугольный, $ \angle C = 90^{\circ} $
Вписанная окружность касается AC в точке D.
$ BC = 7 $
Радиус вписанной окружности $ r = 2 $
Найти: Длину хорды, соединяющей точки пересечения окружности с прямой BD.

Краткое пояснение: Для решения задачи необходимо найти координаты точек пересечения окружности с прямой BD. Для этого найдем координаты центра вписанной окружности и уравнение прямой BD.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Найдем длину катета AC.
Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: $ r = \frac{a+b-c}{2} $, где $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза. Также, $r = p - c$, где $p$ - полупериметр. Известно, что $r=2$ и $BC=7$. Примем $AC = b$, $BC = a = 7$. Стороны, касательные к окружности из вершины, равны: $AD = AE$, $BD = BF$, $CD = CE$. Так как $C$ - прямой угол, $CD = CE = r = 2$. Тогда $AC = AD + DC = AD + 2$ и $BC = BF + FC = BF + 2 = 7$, откуда $BF = 5$. Значит, $BD = 5$.
Теперь используем формулу $ r = \frac{a+b-c}{2} $:
$ 2 = \frac{7 + AC - \sqrt{7^2 + AC^2}}{2} $
$ 4 = 7 + AC - \sqrt{49 + AC^2} $
$ \sqrt{49 + AC^2} = AC + 3 $
Возведем обе части в квадрат:
$ 49 + AC^2 = (AC + 3)^2 $
$ 49 + AC^2 = AC^2 + 6AC + 9 $
$ 40 = 6AC $
$ AC = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} $.
Шаг 2: Определим координаты точек.
Разместим треугольник в системе координат так, чтобы $C$ был в начале координат (0,0), $BC$ по оси x, $AC$ по оси y.
$ C = (0,0) $
$ B = (7,0) $
$ A = (0, \frac{20}{3}) $
Найдем координаты точки касания D на AC. Так как CD = r = 2, то $ D = (0, 2) $.
Шаг 3: Найдем уравнение прямой BD.
Прямая проходит через точки $ B=(7,0) $ и $ D=(0,2) $.
Уравнение прямой: $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $, где $a$ - точка пересечения с осью x, $b$ - точка пересечения с осью y.
$ \frac{x}{7} + \frac{y}{2} = 1 $
Умножим на 14:
$ 2x + 7y = 14 $
$ 7y = 14 - 2x $
$ y = 2 - \frac{2}{7}x $
Шаг 4: Найдем координаты центра вписанной окружности.
Центр вписанной окружности I имеет координаты $ (r,r) $ при условии, что $C$ - начало координат.
$ I = (2,2) $
Шаг 5: Найдем уравнение окружности.
Уравнение окружности: $ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 $
$ (x-2)^2 + (y-2)^2 = 2^2 $
$ (x-2)^2 + (y-2)^2 = 4 $
Шаг 6: Найдем точки пересечения окружности и прямой BD.
Подставим $ y = 2 - \frac{2}{7}x $ в уравнение окружности:
$ (x-2)^2 + (2 - \frac{2}{7}x - 2)^2 = 4 $
$ (x-2)^2 + (- \frac{2}{7}x)^2 = 4 $
$ x^2 - 4x + 4 + \frac{4}{49}x^2 = 4 $
$ x^2 - 4x + \frac{4}{49}x^2 = 0 $
$ x(x - 4 + \frac{4}{49}x) = 0 $
Одно решение $ x=0 $. Это соответствует точке D (0, 2), которая лежит на окружности и на прямой BD. Найдем второе решение:
$ x - 4 + \frac{4}{49}x = 0 $
$ x(1 + \frac{4}{49}) = 4 $
$ x(\frac{53}{49}) = 4 $
$ x = 4 \cdot \frac{49}{53} = \frac{196}{53} $
Найдем соответствующее значение y:
$ y = 2 - \frac{2}{7} \cdot \frac{196}{53} = 2 - \frac{2 \cdot 28}{53} = 2 - \frac{56}{53} = \frac{106 - 56}{53} = \frac{50}{53} $
Итак, вторая точка пересечения $ E = (\frac{196}{53}, \frac{50}{53}) $.
Шаг 7: Найдем длину хорды DE.
Расстояние между точками $ D=(0,2) $ и $ E=(\frac{196}{53}, \frac{50}{53}) \>:
\( DE = \sqrt{(\frac{196}{53} - 0)^2 + (\frac{50}{53} - 2)^2} $
$ DE = \sqrt{(\frac{196}{53})^2 + (\frac{50 - 106}{53})^2} $
$ DE = \sqrt{(\frac{196}{53})^2 + (\frac{-56}{53})^2} $
$ DE = \frac{1}{53} \sqrt{196^2 + (-56)^2} $
$ DE = \frac{1}{53} \sqrt{38416 + 3136} $
$ DE = \frac{1}{53} \sqrt{41552} $
$ \sqrt{41552} = \sqrt{16 \cdot 2597} = 4 \sqrt{2597} $ - это не упрощается дальше. Проверим расчеты.

Альтернативный способ:
Длина хорды, проходящей через точку касания D, которая является одной из точек пересечения, может быть найдена с помощью теоремы о касательной и хорде, но здесь BD - это секущая.
Рассмотрим треугольник BCD. У нас есть BC=7, CD=2, BD=5 (как сегменты касательных).
В прямоугольном треугольнике ABC: $ AC = \frac{20}{3} $, $ BC = 7 $.
Центр вписанной окружности $ I = (2,2) $.
Точка D на AC, $ D=(0,2) $.
Уравнение прямой BD: $ 2x + 7y - 14 = 0 $.
Расстояние от центра I(2,2) до прямой BD:
$ d = \frac{|2(2) + 7(2) - 14|}{\sqrt{2^2 + 7^2}} = \frac{|4 + 14 - 14|}{\sqrt{4+49}} = \frac{4}{\sqrt{53}} $.
Радиус окружности $ R=2 $.
Длина половины хорды $ l/2 = \sqrt{R^2 - d^2} $
$ l/2 = \sqrt{2^2 - (\frac{4}{\sqrt{53}})^2} = \sqrt{4 - \frac{16}{53}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 53 - 16}{53}} = \sqrt{\frac{212 - 16}{53}} = \sqrt{\frac{196}{53}} = \frac{14}{\sqrt{53}} $.
Длина хорды $ l = 2 \cdot \frac{14}{\sqrt{53}} = \frac{28}{\sqrt{53}} = \frac{28\sqrt{53}}{53} $.

Ответ: $$\frac{28\sqrt{53}}{53}$$