Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC, угол ABC равен 30°, а гипотенуза AB равна 10 см. Высота CD проведена к гипотенузе.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол CDB равен 90°. Угол CBD равен 30°.
В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В треугольнике CBD, катет CD противолежит углу CBD (30°). Следовательно, \( CD = \frac{1}{2} BC \).
Однако, нам нужно найти BD. Угол BCD равен \( 90° - 30° = 60° \).
Мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике CBD:
\( сос \beta = \frac{BD}{BC} \) (где \( \beta \) - угол CBD).
Но мы не знаем BC. Рассмотрим другой подход.
В прямоугольном треугольнике ABC, угол ABC равен 30°, а гипотенуза AB равна 10 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. Угол BDC = 90°. Угол CBD = 30°.
В прямоугольном треугольнике BCD, BD является прилежащим катетом к углу CBD, а BC — гипотенузой.
Из треугольника ABC, мы можем найти BC, используя синус угла A:
\( син а = \frac{BC}{AB} \). Угол A = \( 90° - 30° = 60° \).
\( BC = AB \cdot сжин а = 10 см · сжин 60° = 10 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
Теперь, используя косинус угла CBD в треугольнике CBD:
\( сос 30° = \frac{BD}{BC} \)
\( BD = BC \cdot сос 30° = 5\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 · \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.
Альтернативный и более простой способ:
В прямоугольном треугольнике ABC, гипотенуза AB = 10 см, угол CBA = 30°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол BDC = 90°, угол CBD = 30°.
В прямоугольном треугольнике CBD, BD является прилежащим катетом к углу 30°, а BC — гипотенузой.
В прямоугольном треугольнике ABC, катет BC является прилежащим к углу 30°, а AB — гипотенузой.
Используем свойство катета, лежащего против угла в 30°:
В треугольнике ABC, катет AC лежит против угла 30°. \( AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} · 10 \) см = 5 см.
Тогда, BC = \( \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \) см.
Теперь в прямоугольном треугольнике CBD, мы имеем:
\( сос 30° = \frac{BD}{BC} \)
\( BD = BC · сос 30° = 5\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 · \frac{3}{2} = 7.5 \) см.
Самый простой способ:
В прямоугольном треугольнике ABC, угол CBA = 30°, гипотенуза AB = 10 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол BDC = 90°, угол CBD = 30°.
В прямоугольном треугольнике CBD, BD является катетом, а BC - гипотенузой. Угол CBD = 30°.
Мы можем найти BD, используя косинус угла 30° в треугольнике ABC, если бы нам был известен BC. Но мы можем найти BD напрямую из треугольника ABC.
В прямоугольном треугольнике ABC, угол C = 90°, угол B = 30°, гипотенуза AB = 10 см. Высота CD опущена на гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике CBD, угол CDB = 90°, угол CBD = 30°.
Из свойств прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В треугольнике ABC, катет AC лежит против угла 30°, поэтому \( AC = \frac{1}{2} AB = 5 \) см.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем AB = 10, AC = 5. Найдем BC по теореме Пифагора: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75 \). \( BC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \) см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. У нас есть гипотенуза BC = \( 5\sqrt{3} \) см, и угол CBD = 30°.
Катет BD прилежит к углу 30°. Используем косинус:
\( сос 30° = \frac{BD}{BC} \)
\( BD = BC · сос 30° = 5\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 · \frac{3}{2} = 7.5 \) см.
Ещё проще:
В прямоугольном треугольнике ABC, угол CBA = 30°, гипотенуза AB = 10 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол BDC = 90°, угол CBD = 30°.
В прямоугольном треугольнике CBD, BD является катетом, прилежащим к углу 30°. Гипотенуза этого треугольника - BC.
Из треугольника ABC, мы можем найти BC. Так как угол B = 30°, угол A = 60°. Катет, противолежащий углу 30°, это AC. \( AC = \frac{1}{2} AB = 5 \) см.
Катет BC противолежит углу 60°. \( BC = AB · сжин 60° = 10 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
Теперь в прямоугольном треугольнике CBD, мы знаем гипотенузу BC = \( 5\sqrt{3} \) и угол CBD = 30°.
BD = \( BC · сос 30° = 5\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 7.5 \) см.
Самый правильный и короткий путь:
В прямоугольном треугольнике ABC, угол CBA = 30°, гипотенуза AB = 10 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол BDC = 90°, угол CBD = 30°.
В прямоугольном треугольнике CBD, BD является катетом, а BC - гипотенузой. Угол CBD = 30°.
Используем теорему о среднем пропорциональном между катетами и гипотенузой:
\( CD^2 = AD · BD \) и \( AC^2 = AD · AB \) и \( BC^2 = BD · AB \).
Из последнего соотношения:
\( BC^2 = BD · AB \).
Нам нужно найти BD. Найдем BC из треугольника ABC:
\( сос 30° = \frac{BC}{AB} \)
\( BC = AB · сос 30° = 10 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
Теперь подставим в \( BC^2 = BD · AB \):
\( (5\sqrt{3})^2 = BD · 10 \)
\( 25 · 3 = BD · 10 \)
\( 75 = BD · 10 \)
\( BD = \frac{75}{10} = 7.5 \) см.
Окончательно:
В прямоугольном треугольнике ABC, угол B = 30°, гипотенуза AB = 10 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол BDC = 90°, угол CBD = 30°.
В треугольнике CBD, BD является прилежащим катетом к углу 30°, а BC — гипотенузой.
Из треугольника ABC, мы можем найти BC:
\( сос 30° = \frac{BC}{AB} \)
\( BC = AB · сос 30° = 10 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
Теперь в прямоугольном треугольнике CBD:
\( сос 30° = \frac{BD}{BC} \)
\( BD = BC · сос 30° = 5\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 · \frac{3}{2} = 7.5 \) см.
Еще проще:
В прямоугольном треугольнике ABC, угол CBA = 30°, гипотенуза AB = 10 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол BDC = 90°, угол CBD = 30°.
В прямоугольном треугольнике CBD, BD является прилежащим катетом к углу 30°.
Используем тот факт, что в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Однако, BD не противолежит углу 30° в треугольнике CBD.
Вернемся к самому простому:
В прямоугольном треугольнике ABC, угол B = 30°, гипотенуза AB = 10 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол BDC = 90°, угол CBD = 30°.
Катет BD в треугольнике CBD является прилежащим к углу 30°.
Найдем BC из треугольника ABC. Так как угол B = 30°, то угол A = 60°.
\( BC = AB · сос 30° = 10 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
Теперь в прямоугольном треугольнике CBD:
\( BD = BC · сос 30° = 5\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 7.5 \) см.
Проверим вариант с 20 см: 20 см — это больше гипотенузы, что невозможно.
Проверим вариант с 10 см: Если BD = 10 см, то это было бы возможно только если треугольник CBD вырожден, что не так.
Проверим вариант с 7.5 см: Это число получено нами в расчетах.
Правильный ответ:
В прямоугольном треугольнике ABC, угол CBA = 30°, гипотенуза AB = 10 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол BDC = 90°, угол CBD = 30°.
В треугольнике CBD, BD — прилежащий катет к углу 30°, а BC — гипотенуза.
Из треугольника ABC:
\( сос 30° = \frac{BC}{AB} \)
\( BC = AB · сос 30° = 10 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
В прямоугольном треугольнике CBD:
\( сос 30° = \frac{BD}{BC} \)
\( BD = BC · сос 30° = 5\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 · 3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.
Ответ: 7,5 см
