1. В прямоугольном треугольнике АВС ∠A=40°, ∠B=90°, а в треугольнике MNK углы М, N, К относятся как 5:9:4. АВ=3см, KN=9см. Найдите: а) ВС: КМ; б)ЅАBC : SMNK; B) PABC:PMNK 2. Диагонали четырехугольника ABCD AC и BD пересекаются в точке О так, что ОС=5см, ОВ-6см, ОА=15см,OD=18см. Докажите, что в четырёхугольнике ABCD BC || AD и найдите отношение треугольников AOD и ВОС.

Задание 1

В прямоугольном треугольнике ABC ∠A=40°, ∠B=90°, а в треугольнике MNK углы M, N, K относятся как 5:9:4. AB=3см, KN=9см. Найдите:

1. BC : KM
2. S_ABC : S_MNK
3. P_ABC : P_MNK

Решение:

а) Найдем отношение BC : KM.

В треугольнике ABC:

∠A = 40°

∠B = 90°

∠C = 180° - 90° - 40° = 50°

В треугольнике MNK углы относятся как 5:9:4, поэтому можем найти каждый угол:

Пусть x - коэффициент пропорциональности. Тогда углы 5x, 9x и 4x.

5x + 9x + 4x = 180°

18x = 180°

x = 10°

∠M = 5x = 50°

∠N = 9x = 90°

∠K = 4x = 40°

Заметим, что углы треугольника ABC равны углам треугольника MNK (∠A = ∠K = 40°, ∠B = ∠N = 90°, ∠C = ∠M = 50°). Следовательно, треугольники ABC и MNK подобны.

Из подобия следует, что: \(\frac{AB}{KN} = \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{KM}\)

Известно, что AB = 3 см, KN = 9 см. Значит, коэффициент подобия k = \(\frac{AB}{KN} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)

Нам нужно найти отношение BC : KM. Мы знаем, что \(\frac{BC}{MN} = \frac{1}{3}\), но нужно найти \(\frac{BC}{KM}\). Требуется найти величину \(\frac{BC}{KM}\). Но мы знаем что треугольники подобны, а значит пропорциональны соответствующие стороны. Выразим \(\frac{BC}{KM} = \frac{1}{3} \times \frac{MN}{KM}\)

Так как треугольники ABC и MNK подобны, то \(\frac{BC}{KM}\) не равно отношению \(\frac{AB}{KN}\).

Нужно найти отношение \(\frac{BC}{KM}\). Выразим \(BC = AB \cdot tg(40)\). Выразим \(KM = KN \cdot ctg(40)\).

Тогда \(\frac{BC}{KM} = \frac{3 \cdot tg(50)}{9 \cdot ctg(50)}\). Упростим выражение \(\frac{BC}{KM} = \frac{tg^2(50)}{3} \approx \frac{1.42^2}{3} \approx 0.67\)

б) Найдем отношение площадей S_ABC : S_MNK.

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC\)

\(S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot MN\)

\(\frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC}{\frac{1}{2} \cdot KN \cdot MN} = \frac{AB \cdot BC}{KN \cdot MN} = \frac{3 \cdot BC}{9 \cdot MN} = \frac{1}{3} \cdot \frac{BC}{MN}\)

Так как \(\frac{AB}{KN} = \frac{BC}{MN} = \frac{1}{3}\), то \(\frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\)

в) Найдем отношение периметров P_ABC : P_MNK.

\(P_{ABC} = AB + BC + AC\)

\(P_{MNK} = KN + MN + KM\)

\(\frac{P_{ABC}}{P_{MNK}} = \frac{AB + BC + AC}{KN + MN + KM}\)

Так как треугольники подобны с коэффициентом подобия k = \(\frac{1}{3}\), то и отношение периметров равно этому коэффициенту.

\(\frac{P_{ABC}}{P_{MNK}} = \frac{1}{3}\)

Задание 2

Диагонали четырехугольника ABCD AC и BD пересекаются в точке O так, что OC=5см, OB=6см, OA=15см, OD=18см. Докажите, что в четырёхугольнике ABCD BC || AD и найдите отношение треугольников AOD и BOC.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и BOC:

\(\frac{AO}{OC} = \frac{15}{5} = 3\)

\(\frac{DO}{OB} = \frac{18}{6} = 3\)

Так как \(\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB}\) и углы AOD и BOC равны как вертикальные, то треугольники AOD и BOC подобны по первому признаку подобия.

Из подобия следует равенство углов: ∠OAD = ∠OCB и ∠ODA = ∠OBC. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущих AC и BD. Значит, AD || BC.

Теперь найдем отношение площадей треугольников AOD и BOC.

Так как треугольники подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.

k = \(\frac{AO}{OC} = 3\)

\(\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = 3^2 = 9\)