176. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90°, ∠A=30°. На катете АС отметили точку Е такую, что ∠BEC = 60°. Найдите АС, если ЕС = 8 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 30°.

На катете AC отметили точку E так, что ∠BEC = 60°.

Дано: EC = 8 см.

Найти: AC.

Решение:

1. В треугольнике BEC: ∠BEC = 60°, ∠BCE = 90°, следовательно, ∠EBC = 180° - 90° - 60° = 30°.
2. В прямоугольном треугольнике BEC катет EC лежит против угла 30°, значит, BE = 2EC = 2 * 8 = 16 см.
3. По теореме Пифагора для треугольника BEC: BC² + EC² = BE².
4. BC² = BE² - EC² = 16² - 8² = 256 - 64 = 192.
5. BC = √192 = √(64 * 3) = 8√3 см.
6. В прямоугольном треугольнике ABC: ∠A = 30°. Катет BC лежит против угла 30°, значит, AB = 2BC = 2 * 8√3 = 16√3 см.
7. По теореме Пифагора для треугольника ABC: AC² + BC² = AB².
8. AC² = AB² - BC² = (16√3)² - (8√3)² = 256 * 3 - 64 * 3 = 768 - 192 = 576.
9. AC = √576 = 24 см.

Ответ: AC = 24 см.