8. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90° и ∠A=30°, проведена медиана СМ и биссектриса MD ДСМА. Найдите MD, если ВС=23см.

В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90° и ∠A = 30°, проведена медиана CM и биссектриса MD треугольника CMA. Необходимо найти MD, если BC = 23 см.

Решение:

1. Так как CM - медиана, проведенная из прямого угла, она равна половине гипотенузы, то есть

   $$CM = \frac{1}{2}AB$$

2. В прямоугольном треугольнике ABC катет BC лежит напротив угла A = 30°, следовательно, гипотенуза AB в два раза больше катета BC:

   $$AB = 2BC = 2 \times 23 = 46 \text{ см}$$

3. Тогда медиана CM равна:

   $$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 46 = 23 \text{ см}$$

4. Рассмотрим треугольник CMA. Так как CM = AM (медиана), то треугольник CMA - равнобедренный, следовательно,

   $$∠A = ∠MCA = 30°$$

5. Тогда угол CMA равен:

   $$∠CMA = 180° - (∠A + ∠MCA) = 180° - (30° + 30°) = 120°$$

6. MD - биссектриса угла CMA, значит,

   $$∠CMD = \frac{1}{2} ∠CMA = \frac{1}{2} \times 120° = 60°$$

7. Рассмотрим треугольник CMD. В этом треугольнике:

   $$∠CMD = 60°$$
   $$∠MCA = 30°$$

   Тогда угол MDC равен:

   $$∠MDC = 180° - (∠CMD + ∠MCA) = 180° - (60° + 30°) = 90°$$

   То есть, треугольник CMD - прямоугольный.

8. В прямоугольном треугольнике CMD катет CM известен (CM = 23 см), а угол CMD = 60°. Тогда MD является прилежащим катетом к углу CMD. Найдем MD, используя тангенс угла CMD:

   $$\tan(∠CMD) = \frac{CD}{MD}$$ $$\tan(60°) = \sqrt{3}$$
   $$CD = CM \sin(30) = 23 \frac{\sqrt{3}}{2}$$
   $$MD = \frac{CM}{\tan(60)} = \frac{23}{\sqrt{3}} = \frac{23 \sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$MD = \frac{23 \sqrt{3}}{3} \text{ см}$$