9. В прямоугольном треугольнике АВС ( C = 90°) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. Величина угла АОС равна 115°. Найти меньший острый угол треугольника ABC.

Пусть угол BAC = α, угол ABC = β. Так как треугольник ABC прямоугольный, то α + β = 90°.

CD и AE - биссектрисы углов C и A соответственно. Значит, угол ACD = 45°, угол CAE = α/2.

Рассмотрим треугольник AOC. В нем угол AOC = 115°, угол ACO = 45°, угол CAO = α/2.

Сумма углов в треугольнике AOC равна 180°:

115° + 45° + α/2 = 180°

160° + α/2 = 180°

α/2 = 20°

α = 40°

Так как α + β = 90°, то β = 90° - α = 90° - 40° = 50°.

Меньший острый угол - это угол α = 40°.

Ответ: 40°