В прямоугольном треугольнике АВС из прямого угла С проведена высота СН = 7 см. Найди ∠АСН, если АС = 14 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) с прямым углом \( \angle C \) проведена высота \( CH \). Нам дано, что \( CH = 7 \) см и \( AC = 14 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ACH \). В этом треугольнике \( CH \) является катетом, противолежащим углу \( \angle CAH \), а \( AC \) является гипотенузой.

Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса для нахождения угла \( \angle CAH \):

\( \sin(\angle CAH) = \frac{CH}{AC} \)

Подставим известные значения:

\( \sin(\angle CAH) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)

Угол, синус которого равен \( \frac{1}{2} \), равен \( 30^{\circ} \). Таким образом, \( \angle CAH = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), сумма острых углов равна \( 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BAC + \angle ABC = 90^{\circ} \).

Поскольку \( \angle CAH \) является тем же углом, что и \( \angle BAC \) (так как \( H \) лежит на \( AB \)), мы имеем \( \angle BAC = 30^{\circ} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ACH \) ещё раз. У нас есть \( \angle CAH = 30^{\circ} \) и \( \angle AHC = 90^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle ACH \) равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle ACH + \angle CAH + \angle AHC = 180^{\circ} \)

\( \angle ACH + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ACH + 120^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ACH = 180^{\circ} - 120^{\circ} \)

\( \angle ACH = 60^{\circ} \)

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), \( \angle ACB = 90^{\circ} \). Высота \( CH \) делит этот угол на два: \( \angle ACH \) и \( \angle BCH \).

Мы нашли, что \( \angle BAC = 30^{\circ} \). Так как \( \angle ACB = 90^{\circ} \) и \( CH \) — высота, то \( \triangle ACH \) и \( \triangle CBH \) подобны \( \triangle ABC \).

Из подобия \( \triangle ACH \) и \( \triangle ABC \), следует, что \( \angle ACH = \angle ABC \).

В \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = 30^{\circ} \) и \( \angle ACB = 90^{\circ} \), значит \( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle ACH = \angle ABC = 60^{\circ} \).

Ответ: 60