5. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, кото- рый делит угол треугольника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Пошаговое решение:

1. Пусть данный прямоугольный треугольник – \(ABC\), где угол \(B = 90^\circ\). Серединный перпендикуляр к гипотенузе \(AC\) пересекает катет \(AB\) в точке \(D\). Отрезок \(CD\) делит угол \(C\) на два угла в отношении 4:7.

2. Пусть \(\angle ACD = 4x\) и \(\angle DCB = 7x\). Тогда \(\angle ACB = 4x + 7x = 11x\).

3. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°: \(\angle A + \angle C = 90^\circ\).

4. Рассмотрим треугольник \(ADC\). Так как серединный перпендикуляр к \(AC\) проходит через точку \(D\), то \(AD = DC\). Следовательно, треугольник \(ADC\) равнобедренный, и \(\angle DAC = \angle DCA = 4x\).

5. Теперь мы можем выразить угол \(C\) через \(x\): \(\angle C = 11x\), и угол \(A\) также через \(x\): \(\angle A = 4x\). Подставим это в уравнение суммы углов:

   \[4x + 11x = 90^\circ\] \[15x = 90^\circ\] \[x = 6^\circ\]

6. Теперь найдем углы треугольника:

   • \(\angle A = 4x = 4 \cdot 6^\circ = 24^\circ\)
   • \(\angle C = 11x = 11 \cdot 6^\circ = 66^\circ\)

7. Угол, который требуется найти, это угол \(B\), который равен 90°.