В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена медиана СМ. Найдите угол (в градусах) между прямыми СМ и АВ, если ВС = 7,5 см, АВ = 15 см.

Пошаговое решение:

1. Определим длину медианы СМ.

   В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

   \[CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5 \text{ см}\]

2. Рассмотрим треугольник СМВ.

   Так как СМ = ВМ = 7,5 см, то треугольник СМВ равнобедренный.

   Пусть ∠СМВ = x, тогда ∠АВС = x (углы при основании равнобедренного треугольника равны).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.

   Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

   \[\angle BAC + \angle ABC = 90^\circ\]

   \[\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC\]

   \[\angle BAC = 90^\circ - x\]

4. Сумма углов треугольника равна 180°.

   Рассмотрим треугольник СМВ.

   \[\angle CMB + \angle MBC + \angle MCB = 180^\circ\]

   \[x + x + \angle MCB = 180^\circ\]

   \[\angle MCB = 180^\circ - 2x\]

5. Угол АСВ прямой, то есть 90°.

   Угол АСВ состоит из двух углов: АСМ и МСВ.

   \[\angle ACM + \angle MCB = 90^\circ\]

   \[\angle ACM = 90^\circ - \angle MCB\]

   \[\angle ACM = 90^\circ - (180^\circ - 2x)\]

   \[\angle ACM = 90^\circ - 180^\circ + 2x\]

   \[\angle ACM = 2x - 90^\circ\]

6. Рассмотрим треугольник АМС.

   Так как АМ = СМ = 7,5 см, то треугольник АМС равнобедренный.

   Тогда ∠МАС = ∠АСМ = 2x – 90° (углы при основании равнобедренного треугольника равны).

7. Сумма углов треугольника равна 180°.

   Рассмотрим треугольник АМС.

   \[\angle MAC + \angle ACM + \angle CMA = 180^\circ\]

   \[2x - 90^\circ + 2x - 90^\circ + \angle CMA = 180^\circ\]

   \[4x - 180^\circ + \angle CMA = 180^\circ\]

   \[\angle CMA = 360^\circ - 4x\]

8. Углы СМА и СМВ смежные, сумма смежных углов равна 180°.

   \[\angle CMA + \angle CMB = 180^\circ\]

   \[360^\circ - 4x + x = 180^\circ\]

   \[360^\circ - 3x = 180^\circ\]

   \[-3x = -180^\circ\]

   \[x = 60^\circ\]

9. Определим угол ВАС.

   \[\angle BAC = 90^\circ - x = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]