В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота из вершины С прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты треугольника АВС.

Решение:

Пусть высота CD опущена из вершины прямого угла C на гипотенузу AB. Окружность с диаметром CD пересекает катет AC в точке E, а катет BC в точке F. По условию AE = 12 и BF = 18.

Так как CD — диаметр окружности, то угол CED и угол CFD — прямые (опираются на диаметр).

В прямоугольном треугольнике ABC, CD — высота. Следовательно, \( \triangle ADC \sim \triangle CDB \sim \triangle ACB \).

Из подобия \( \triangle ADC \sim \triangle ACB \) следует: \( \frac{AC}{AB} = \frac{AE}{AC} \) => \( AC^2 = AB · AE \).

Из подобия \( \triangle CDB \sim \triangle ACB \) следует: \( \frac{BC}{AB} = \frac{BF}{BC} \) => \( BC^2 = AB · BF \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем CE = 12. Точка E лежит на катете AC, поэтому AE = AC - CE = AC - 12. Но по условию отрезок, который высекает окружность на катете AC, равен 12. Это отрезок AE = 12.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDB. В нем CF = 18. Точка F лежит на катете BC, поэтому BF = BC - CF = BC - 18. Но по условию отрезок, который высекает окружность на катете BC, равен 18. Это отрезок BF = 18.

Из подобия \( \triangle AEC \) и \( \triangle ADC \) (так как \( < AEC = 90^\circ \) и \( < ADC = 90^\circ \) ), у них общий угол A, значит \( \triangle AEC ~ \triangle ADC \). (Примечание: здесь ошибка в рассуждении. Точка E на катете AC. Отрезок AE = 12. Это не значит, что CE=12.)

Переформулируем условие: Окружность с диаметром CD высекает на катете AC отрезок AE = 12, а на катете BC отрезок BF = 18.

Тогда EC = AC - AE = AC - 12, и FC = BC - BF = BC - 18.

По свойству касательной и секущей, если бы окружность касалась катетов, то отрезки были бы равны. Но здесь окружность пересекает катеты.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. \( < AEC = 90^\circ \) (так как CD — диаметр, и E лежит на окружности). В \( \triangle ADC \) угол D = 90°. Отрезок CE является высотой в треугольнике ADC, проведенной из вершины C к гипотенузе AD. (Ошибка: AD не гипотенуза, а часть катета AC)

Правильное решение:

Пусть высота из C — CD. Окружность с диаметром CD пересекает катет AC в точке E, а катет BC в точке F. По условию AE = 12 и BF = 18.

В прямоугольном треугольнике ADC, \( < CED = 90^\circ \) (угол, опирающийся на диаметр). Следовательно, CE — высота в \( \triangle ADC \).

В прямоугольном треугольнике CDB, \( < CFD = 90^\circ \) (угол, опирающийся на диаметр). Следовательно, CF — высота в \( \triangle CDB \).

В прямоугольном треугольнике ABC, CD — высота. Имеем:

• \( AC^2 = AE · AB \)
• \( BC^2 = BF · AB \)
• \( CD^2 = AE · EB \) (по теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, где EB = AB - AE)
• \( CD^2 = CF · FA \) (где FA = AB - BF)

Нам дано, что окружность с диаметром CD высекает отрезки 12 и 18. Это означает, что отрезки от вершины до точки пересечения с окружностью равны 12 и 18.

Пусть \( AC = b \) и \( BC = a \).

Окружность пересекает катет AC в точке E, так что AE = 12. Окружность пересекает катет BC в точке F, так что BF = 18.

Тогда EC = AC - AE = b - 12. И FC = BC - BF = a - 18.

Рассмотрим \( \triangle ADC \). CD — высота. \( < CED = 90^\circ \). В \( \triangle ADC \) имеем: \( AC^2 = AE · AB \). \( b^2 = 12 · AB \).

Рассмотрим \( \triangle CDB \). CD — высота. \( < CFD = 90^\circ \). В \( \triangle CDB \) имеем: \( BC^2 = BF · AB \). \( a^2 = 18 · AB \).

Из этих двух уравнений: \( \frac{b^2}{a^2} = \frac{12 · AB}{18 · AB} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \). Значит \( b^2 = \frac{2}{3} a^2 \).

Также, CD — диаметр окружности. По теореме о средней линии, если бы E и F были серединами, то EF было бы параллельно AB. Но это не так.

Используем теорему о высотах в прямоугольном треугольнике: \( CD^2 = AE · EB \) и \( CD^2 = CF · FA \).

В \( \triangle ADC \), \( AE = 12 \). \( EC = b - 12 \). \( CD^2 = AE · EC = 12 · (b - 12) \).

В \( \triangle CDB \), \( BF = 18 \). \( FC = a - 18 \). \( CD^2 = BF · FC = 18 · (a - 18) \).

Приравниваем выражения для \( CD^2 \): \( 12(b - 12) = 18(a - 18) \).

Разделим на 6: \( 2(b - 12) = 3(a - 18) \).

\( 2b - 24 = 3a - 54 \).

\( 2b - 3a = -30 \) (1)

Также, по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = AB^2 \).

Из \( b^2 = \frac{2}{3} a^2 \): \( b = a · \frac{2}{3} \) (где \( \) - корень).

Подставим \( b^2 \) в \( a^2 + b^2 = AB^2 \): \( a^2 + \frac{2}{3} a^2 = AB^2 \) => \( \frac{5}{3} a^2 = AB^2 \). => \( AB = a · \frac{5}{3} \).

Теперь используем \( a^2 = 18 · AB \) и \( b^2 = 12 · AB \).

\( AB = \frac{a^2}{18} \) и \( AB = \frac{b^2}{12} \).

\( \frac{a^2}{18} = \frac{b^2}{12} \) => \( 12 a^2 = 18 b^2 \) => \( 2 a^2 = 3 b^2 \) => \( b^2 = \frac{2}{3} a^2 \). Это то же уравнение.

Подставим \( b = a · \frac{2}{3} \) в \( 2b - 3a = -30 \).

\( 2 · a · \frac{2}{3} - 3a = -30 \).

\( 2a · \frac{2}{3} - 3a = -30 \).

\( a (2 · \frac{2}{3} - 3) = -30 \).

\( a ( \frac{8}{3} - 3) = -30 \).

\( a ( \frac{8}{3} - \frac{9}{3}) = -30 \).

\( a · \frac{ 8 - 3}{3} = -30 \).

\( a · \frac{ 1}{3} = -30 \). (Ошибка в знаке корня)

Возвращаемся к \( 12(b - 12) = 18(a - 18) \).

В \( \triangle ADC \) угол A. \( \tan A = \frac{CD}{AE} = \frac{CD}{12} \).

В \( \triangle CDB \) угол B. \( \tan B = \frac{CD}{BF} = \frac{CD}{18} \).

В \( \triangle ABC \), \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b} \). \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} \).

\( \frac{CD}{12} = \frac{a}{b} \) => \( CD = \frac{12a}{b} \).

\( \frac{CD}{18} = \frac{b}{a} \) => \( CD = \frac{18b}{a} \).

Приравниваем: \( \frac{12a}{b} = \frac{18b}{a} \) => \( 12 a^2 = 18 b^2 \) => \( 2 a^2 = 3 b^2 \) => \( b^2 = \frac{2}{3} a^2 \).

Теперь выразим \( CD \) через \( a \) и \( b \).

\( CD^2 = AE · EB \). \( EB = AB - AE \). \( AB = \frac{a^2}{18} \). \( EB = \frac{a^2}{18} - 12 \).

\( CD^2 = 12 (\frac{a^2}{18} - 12) = \frac{12 a^2}{18} - 144 = \frac{2 a^2}{3} - 144 \).

\( CD^2 = CF · FA \). \( FA = AB - BF \). \( AB = \frac{b^2}{12} \). \( FA = \frac{b^2}{12} - 18 \).

\( CD^2 = 18 (\frac{b^2}{12} - 18) = \frac{18 b^2}{12} - 324 = \frac{3 b^2}{2} - 324 \).

\( \frac{2 a^2}{3} - 144 = \frac{3 b^2}{2} - 324 \).

Подставим \( b^2 = \frac{2}{3} a^2 \):

\( \frac{2 a^2}{3} - 144 = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} a^2) - 324 \).

\( \frac{2 a^2}{3} - 144 = a^2 - 324 \).

\( 324 - 144 = a^2 - \frac{2 a^2}{3} \).

\( 180 = \frac{a^2}{3} \).

\( a^2 = 180 · 3 = 540 \).

\( a = 540 = (36 · 15) = 6 15 \).

\( b^2 = \frac{2}{3} a^2 = \frac{2}{3} · 540 = 2 · 180 = 360 \).

\( b = 360 = (36 · 10) = 6 10 \).

Проверка: \( 2a^2 = 2 · 540 = 1080 \). \( 3b^2 = 3 · 360 = 1080 \). Верно.

Катет BC = \( a = 6 15 \).

Катет AC = \( b = 6 10 \).

Ответ: BC = \( 615 \), AC = \( 610 \).