8. В прямоугольном треугольнике АВС С=90° и ∠ А=30°, проведена медиана СМ и биссектриса MD ДСМА. Найдите MD, если ВС=23см.

8. Дано: треугольник ABC, ∠C = 90°, ∠A = 30°, CM - медиана, MD - биссектриса угла CMA, BC = 23 см.

Найти: MD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC катет BC лежит против угла A = 30°, следовательно, гипотенуза AB = 2 * BC = 2 * 23 = 46 см.

Медиана CM, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: CM = AB/2 = 46/2 = 23 см.

Так как CM = BC = 23 см, то треугольник CMB равнобедренный, и ∠CBM = ∠CMB. ∠CBM = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.

Тогда ∠CMB = 60°, и ∠CMA = 180° - ∠CMB = 180° - 60° = 120°.

MD - биссектриса угла CMA, следовательно, ∠CMD = ∠CMA/2 = 120°/2 = 60°.

Рассмотрим треугольник CMD. В нем ∠CMD = 60°, CM = 23 см. Так как треугольник CMB равнобедренный, то ∠MCB=60°, тогда треугольник CMB - равносторонний, и CM=MB=CB=23 см. Угол MCA=90°-60°=30°

Рассмотрим треугольник CMD. По теореме синусов $$\frac{MD}{\sin(\angle MCD)} = \frac{CM}{\sin(\angle MDC)}$$

Сумма углов треугольника CMD равна 180°, поэтому ∠CDM = 180° - (∠CMD + ∠MCD) = 180° - (60° + 30°) = 90°.

Тогда $$\frac{MD}{\sin(30)} = \frac{23}{\sin(90)}$$

$$MD = \frac{23 \cdot \sin(30)}{\sin(90)} = \frac{23 \cdot 0.5}{1} = 11.5$$

MD = 11.5 см.

Ответ: MD = 11.5 см.