В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С опустили высоту СН на гипотенузу. Известно, что АВ = 12, BH = 3. Найдите АН. Найдите ВС.

Для решения данной задачи нам потребуется использовать свойства прямоугольных треугольников и теорему Пифагора.

1. Найдем AH.

По условию задачи, AB = 12 и BH = 3. Так как AH и BH являются частями гипотенузы AB, то AH можно найти как разность между AB и BH:

$$AH = AB - BH$$
$$AH = 12 - 3$$
$$AH = 9$$

Ответ: AH = 9

2. Найдем BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нем CH - высота, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу AB. По свойству высоты, опущенной из вершины прямого угла, имеем:

$$CH^2 = AH \cdot BH$$

Подставим известные значения AH = 9 и BH = 3:

$$CH^2 = 9 \cdot 3 = 27$$
$$CH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Используем теорему Пифагора для нахождения BC:

$$BC^2 = BH^2 + CH^2$$
$$BC^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2$$
$$BC^2 = 9 + 27 = 36$$
$$BC = \sqrt{36} = 6$$

Ответ: BC = 6