В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С и высотой СН: AC = 20, АН = 16. Найдите длину гипотенузы АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C и высотой CH известны AC = 20 и AH = 16. Требуется найти длину гипотенузы AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

$$CH^2 = AC^2 - AH^2$$

$$CH^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$$

$$CH = \sqrt{144} = 12$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Высота CH, проведенная из прямого угла C, делит треугольник ABC на два подобных треугольника: ACH и CBH, каждый из которых подобен треугольнику ABC.

Используем подобие треугольников ACH и ABC.

$$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{20}{AB} = \frac{16}{20}$$

Решим уравнение относительно AB:

$$AB = \frac{20 \cdot 20}{16} = \frac{400}{16} = 25$$

Ответ: 25