146. В прямоугольном треугольнике АВС (СС = 90°) прове- ли высоту CD. Найдите отрезок BD, если AB = 8 см, ВС = 4 см. 147. На рисунке 57 ZACB 90, ZADC = 90°, ZABC - 30. Най- дите угол ACD, если АВ = 4 см, CD = 1 см. 148. В треугольнике АВС известно, что ДС = 90°, ∠A = 60. Биссек- триса угла А пересекает ка- тет ВС в точке К. Найдите ВК, если АК СК = 8 см.

146.

• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка. Обозначим \(BD = x\), тогда \(AD = 8 - x\).

• По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе: \(CD^2 = AD \cdot BD\). Также известно, что высота делит треугольник на два подобных исходному. Треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(CBD\).

• Используем свойство подобных треугольников: \(\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC}\).

• Подставляем известные значения: \(\frac{4}{8} = \frac{x}{4}\).

• Решаем уравнение: \(8x = 16\), следовательно, \(x = 2\).

Ответ: BD = 2 см

147.

• В прямоугольном треугольнике \(ABC\) \(\angle ACB = 90°\) и \(\angle ABC = 30°\). Значит, \(\angle BAC = 60°\) (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).

• Рассмотрим треугольник \(ADC\). \(\angle ADC = 90°\). Чтобы найти \(\angle ACD\), нужно знать \(\angle DAC\). Т.к. \(\angle BAC = 60\), то \(\angle DAC = 90-60 = 30\)

• Так как сумма углов в треугольнике \(ADC\) равна 180°, то \(\angle ACD = 180° - 90° - 60° = 30°\).

Ответ: \(\angle\)ACD = 30°

148.

• В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90°\) и \(\angle A = 60°\). Следовательно, \(\angle B = 30°\).

• Так как \(AK\) - биссектриса угла \(A\), то \(\angle CAK = \angle BAK = 30°\).

• Рассмотрим треугольник \(AKC\). В нем \(\angle C = 90°\) и \(\angle CAK = 30°\), значит \(\angle AKC = 60°\). Так как \(AK = CK = 8\) см, треугольник равнобедренный и \(\angle CAK = 30\). Так как \(AK\) - биссектриса, то \(CK = 8\)

• В прямоугольном треугольнике \(AKC\), \(AC = AK \cdot cos(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).

• В прямоугольном треугольнике \(ABC\), \(AB = \frac{AC}{cos(60°)} = \frac{4\sqrt{3}}{0.5} = 8\sqrt{3}\).

• По теореме Пифагора, \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{192 - 48} = \sqrt{144} = 12\).

• Рассмотрим треугольник \(AKB\), где \(\angle BAK = 30\) и \(\angle ABK = 30\), следовательно треугольник равнобедренный и \(BK = AK = 8\)

• По свойству биссектрисы треугольника, \(\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AC}\). Подставляем известные значения: \(\frac{BK}{8} = \frac{8\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}\) , упрощаем: \(\frac{BK}{8} = 2\) следовательно, \(BK = \frac{AB \cdot CK}{AC + AK} = \frac{8\sqrt{3} \cdot 8}{4\sqrt{3} + 8} = \frac{64\sqrt{3}}{4(\sqrt{3} + 2)} = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}\).

• Избавимся от иррациональности в знаменателе: \(BK = \frac{16\sqrt{3}(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{16(3 - 2\sqrt{3})}{3 - 4} = -16(3 - 2\sqrt{3}) = 16(2\sqrt{3} - 3) = 32\sqrt{3} - 48\).

Очевидно в этом решении где-то закралась ошибка, поэтому попробуем решить проще:

• По свойству биссектрисы треугольника \(\frac{BK}{AK} = \frac{BC}{AC}\). Так как \(AK = CK = 8\), то \(AC = 8\cdot\sqrt{3}\) (катет, лежащий против угла в 30 градусов).

• Тогда \(\frac{BK}{8} = \frac{BC}{8\sqrt{3}}\) или \(BK = \frac{BC}{\sqrt{3}}\) (1)

• Но \(BC = BK + KC = BK + 8\) (2)

• Подставим (2) в (1) и получим \(BK = \frac{BK + 8}{\sqrt{3}}\) или \(BK \sqrt{3} = BK + 8\), откуда \(BK(\sqrt{3} - 1) = 8\) и, окончательно, \(BK = \frac{8}{\sqrt{3} - 1}\)

• Избавимся от иррациональности в знаменателе \(BK = \frac{8(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{8(\sqrt{3} + 1)}{2} = 4(\sqrt{3} + 1)\)

Ответ: BK = \(4(\sqrt{3} + 1)\) см.

Ответ: 146. BD = 2 см; 147. \(\angle\)ACD = 30°; 148. BK = \(4(\sqrt{3} + 1)\) см.

Ты сегодня Geometry Ace!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей