В прямоугольном треугольнике АВС угол C = 90°, CD - высота треугольника, АС = 5 см, СВ = 10 см. Чему равно отношение площадей треугольников ACD и CDB?

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, высота CD делит гипотенузу AB на два отрезка AD и DB. Треугольники ACD и CDB подобны треугольнику ABC и подобны друг другу.

По условию, AC = 5 см и CB = 10 см. Так как треугольники ACD и CDB подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Отношение площадей треугольников ACD и CDB равно отношению квадратов их катетов, прилежащих к углу C:

$$ \frac{S_{ACD}}{S_{CDB}} = \left( \frac{AC}{CB} \right)^2 $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{S_{ACD}}{S_{CDB}} = \left( \frac{5}{10} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} $$

Таким образом, отношение площадей треугольников ACD и CDB равно 1:4.

Ответ: 1:4