В прямоугольном треугольнике АВС угол C равен 90°, cos ∠B = 0,6. Гипотенуза АВ = 30. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

1. Находим длину катета BC:

   По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

   \[ \cos(\angle B) = \frac{BC}{AB} \]

   Подставляем известные значения:

   \[ 0,6 = \frac{BC}{30} \]

   Вычисляем BC:

   \[ BC = 0,6 \times 30 = 18 \]
2. Находим длину катета AC:

   Воспользуемся теоремой Пифагора:

   \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

   Подставляем известные значения:

   \[ AC^2 + 18^2 = 30^2 \]

   Вычисляем AC²:

   \[ AC^2 + 324 = 900 \]

   Вычисляем AC:

   \[ AC^2 = 900 - 324 = 576 \]

   \( AC = \sqrt{576} = 24 \)

3. Находим площадь треугольника:

   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

   \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]

   Подставляем найденные значения катетов:

   \[ S = \frac{1}{2} \times 24 \times 18 \]

   Вычисляем площадь:

   \[ S = 12 \times 18 = 216 \]

Ответ: 216