В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90°) проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите стороны треугольника АВС.

Для решения этой задачи используем свойства прямоугольного треугольника и высоты, проведённой к гипотенузе. Пусть CD = x, тогда BD = x + 4. 1. Найдём x (длину CD): В прямоугольном треугольнике ABC высота CD является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу: $$CD^2 = AD \cdot BD$$ $$x^2 = 9 \cdot (x + 4)$$ $$x^2 = 9x + 36$$ $$x^2 - 9x - 36 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: Дискриминант: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$$ $$x_1 = \frac{9 + \sqrt{225}}{2} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{9 - \sqrt{225}}{2} = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Итак, CD = 12 см, тогда BD = 12 + 4 = 16 см. 2. Найдём стороны треугольника АВС: AB = AD + BD = 9 + 16 = 25 см. Используем теорему Пифагора для треугольников ADC и BDC: $$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$ $$AC = \sqrt{225} = 15$$ см. $$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$$ $$BC = \sqrt{400} = 20$$ см. Ответ: Стороны треугольника ABC: AB = 25 см, AC = 15 см, BC = 20 см. Вариант b.