В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90°) АВ = 10 см, радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника

Решение:

• Формула площади прямоугольного треугольника: S = \( \frac{1}{2}ab \), где a и b — катеты.
• Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a+b-c}{2} \), где c — гипотенуза.
• Из условия \( r = 2 \) см и \( c = 10 \) см, следовательно, \( 2 = \frac{a+b-10}{2} \).
• Умножим обе части на 2: \( 4 = a+b-10 \).
• Выразим сумму катетов: \( a+b = 14 \) см.
• Возведем обе части в квадрат: \( (a+b)^2 = 14^2 \) \( a^2 + 2ab + b^2 = 196 \).
• По теореме Пифагора \( a^2 + b^2 = c^2 \), то есть \( a^2 + b^2 = 10^2 = 100 \).
• Подставим значение \( a^2 + b^2 \) в уравнение: \( 100 + 2ab = 196 \).
• Найдем \( 2ab \): \( 2ab = 196 - 100 = 96 \).
• Теперь найдем площадь: \( S = \frac{1}{2}ab \). Для этого разделим \( 2ab \) на 4: \( S = \frac{96}{4} = 24 \) см².

Ответ: 24 см²