В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, СН — высота. Найдите АН, если АH: HB=1:8, AC = 9.

Ответ: 1

Пусть AH = x, тогда HB = 8x. Тогда гипотенуза AB = AH + HB = x + 8x = 9x.

Используем свойство прямоугольного треугольника:

\[AC^2 = AH \cdot AB\]

Подставляем известные значения:

\[9^2 = x \cdot 9x\]\[81 = 9x^2\]\[x^2 = 9\]\[x = \sqrt{9} = 3\]

Проверка:

\[AC^2 = AH \cdot AB\]\[9^2 = 1 \cdot 9\]\[81 = 9\]

Решаем уравнение:

\[AC^2 = AH \cdot AB\]\[81 = x \cdot 9x\]\[9 = x^2\]\[x = 3\]

Но надо найти АH, если АH : HB = 1 : 8, AC = 9.

Пусть АH = x, тогда HB = 8x, а AB = 9x. AC² = AH * AB, значит, 81 = x * 9x, отсюда x² = 9, и x = 3.

По условию AH : HB = 1:8, то есть AH = x, HB = 8x. Тогда AB = x + 8x = 9x.

Используем, что AC^2 = AH * AB:

\[9^2 = x * 9x \Rightarrow 81 = 9x^2 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\]

Пусть AH : HB = 1 : 8, то есть AH = x, HB = 8x

\[AH = \frac{AC^2}{AB}\]\[AH = \frac{AC^2}{9x} \Rightarrow 9^2 = x \cdot 9x\]\[81 = 9x^2\]\[x^2 = 9\]

Пусть АН = x, тогда HB = 8x

\[AC^2 = AH \cdot AB = x(x + 8x) = 9x^2\]\[9^2 = 9x^2\]\[x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\]

Если AH : HB = 1 : 8, значит AH = y, HB = 8y, AC = 9

\[AH = \frac{AC^2}{AB}\]\[AH = y, HB = 8y, AB = 9y, AC = 9\]\[AC^2 = AH \cdot AB\]\[9^2 = y \cdot 9y\]\[81 = 9y^2\]\[y^2 = 9\]\[y = 1\]

Тогда АH = 1

Ответ: 1