1. В прямоугольном треугольнике АВС высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A. 2. Диагональ АС прямоугольника АВСD равна 8 см и составляет со стороной AD угол в 45°. Найдите площадь прямоугольника. 3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1 : 8. Найдите основания трапеции и её площадь.

Задача 1

Логика такая:

1. Найдем BD. Так как BD высота, то треугольник BDC - прямоугольный. По теореме Пифагора:

\[BD^2 + DC^2 = BC^2\]

\[BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \text{ см}\]

2. Найдем AD. Рассмотрим треугольник ABD. Он тоже прямоугольный. Выразим AB через теорему Пифагора:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]

Рассмотрим треугольник ABC. Для него также справедлива теорема Пифагора:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

Подставим AC = AD + DC:

\[AB^2 + BC^2 = (AD + DC)^2\]

\[AD^2 + BD^2 + BC^2 = (AD + DC)^2\]

\[AD^2 + 24^2 + 30^2 = (AD + 18)^2\]

\[AD^2 + 576 + 900 = AD^2 + 36AD + 324\]

\[1476 = 36AD + 324\]

\[36AD = 1152\]

\[AD = \frac{1152}{36} = 32 \text{ см}\]

3. Найдем AB:

\[AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{32^2 + 24^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40 \text{ см}\]

4. Найдем cos A:

\[cos A = \frac{AD}{AB} = \frac{32}{40} = 0.8\]

Ответ: AB = 40 см, cos A = 0.8

Задача 2

Разбираемся:

Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Если диагональ образует угол 45° с одной из сторон, то второй угол тоже 45°, следовательно, прямоугольник является квадратом.

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда по теореме Пифагора:

\[a^2 + a^2 = 8^2\]

\[2a^2 = 64\]

\[a^2 = 32\]

Площадь квадрата равна a^2, то есть 32.

Ответ: 32 см²

Задача 3

Смотри, тут всё просто:

Пусть меньшее основание трапеции равно x, тогда большее основание равно 8x.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[\frac{x + 8x}{2} = 18\]

\[9x = 36\]

\[x = 4 \text{ см}\]

Значит, меньшее основание равно 4 см, а большее 8 * 4 = 32 см.

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её высоту. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°. Второй угол, прилежащий к той же боковой стороне, равен 180° - 135° = 45°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, боковой стороной и частью большего основания. Угол между высотой и боковой стороной равен 45°, значит, этот треугольник равнобедренный, и высота равна разности оснований:

\[h = 32 - 4 = 28 \text{ см}\]

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

\[S = \frac{4 + 32}{2} \cdot 28 = 18 \cdot 28 = 504 \text{ см}^2\]

Ответ: Основания 4 см и 32 см, площадь 504 см²