Контрольные задания > В прямоугольном треугольнике биссектриса наибольшего угла пересекает гипотенузу под углом 80°. Найдите острые углы данного треугольника.
Вопрос:

В прямоугольном треугольнике биссектриса наибольшего угла пересекает гипотенузу под углом 80°. Найдите острые углы данного треугольника.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Чтобы найти острые углы, воспользуемся свойствами биссектрисы и суммы углов в треугольнике.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Обозначим углы треугольника как A, B (прямой угол 90°) и C. Биссектриса делит угол пополам. Наибольший угол в прямоугольном треугольнике — прямой, но биссектриса наибольшего острого угла (обычно обозначается как угол C, если он больше угла A) или тупого угла (в тупоугольном, но у нас прямоугольный). В прямоугольном треугольнике биссектриса наибольшего угла — это биссектриса прямого угла (90°), которая делит его на два угла по 45°. Однако, в условии сказано, что биссектриса *наибольшего угла* пересекает гипотенузу. В прямоугольном треугольнике наибольшим углом является прямой угол 90°, но биссектриса прямого угла делит его на 45°, и она всегда проходит через вершину прямого угла. Если биссектриса пересекает гипотенузу, это значит, что она проведена из одной из вершин острых углов. Наибольшим углом в прямоугольном треугольнике является прямой угол. Если имеется в виду биссектриса наибольшего *острого* угла, то предположим, что это угол C.
  2. Шаг 2: Пусть биссектриса угла C пересекает гипотенузу AB в точке D. Тогда угол ACD = угол BCD = C/2. По условию, угол CDB = 80°.
  3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в нем равна 180°. Угол CBD = B = 90°. Угол BCD = C/2. Угол CDB = 80°. Значит, B + C/2 + CDB = 180°.
  4. Шаг 4: Подставляем известные значения: 90° + C/2 + 80° = 180°. Это неверно, так как сумма углов в треугольнике BCD не может быть 170°, если один из углов 90°.
  5. Переосмысление условия: Вероятно, имеется в виду биссектриса наибольшего *острого* угла. Пусть этот угол будет C. Тогда C > A.
  6. Шаг 5: Углы треугольника ABC: A + B + C = 180°. Так как B = 90°, то A + C = 90°.
  7. Шаг 6: Пусть биссектриса угла C пересекает гипотенузу AB в точке D. Угол ACD = Угол BCD = C/2.
  8. Шаг 7: Рассмотрим треугольник BCD. Угол B = 90°. Угол BCD = C/2. Угол CDB = 80°. Сумма углов в треугольнике BCD: B + BCD + CDB = 180°.
  9. Шаг 8: Подставляем значения: 90° + C/2 + 80° = 180°. Это опять приводит к противоречию, так как 90 + 80 = 170, а C/2 должно быть 10°, но тогда C=20, что меньше A (90-20=70), а значит C не наибольший острый угол.
  10. Альтернативное толкование: Биссектриса проведена из вершины острого угла (пусть это угол A), и она пересекает гипотенузу. Тогда угол, образованный биссектрисой и гипотенузой, равен 80°.
  11. Шаг 9: Пусть биссектриса угла A пересекает гипотенузу BC (катет) в точке D, или гипотенузу AC (катет) в точке E. Или она пересекает гипотенузу AB. Если биссектриса угла A пересекает гипотенузу BC, то она не может быть проведена из A.
  12. Вернемся к первому случаю: Биссектриса из вершины C. Угол CDB = 80°. Это внешний угол для треугольника ADC.
  13. Шаг 10: В треугольнике ADC: Угол CAD = A. Угол ACD = C/2. Угол ADC = 180° - 80° = 100°. Сумма углов в ADC: A + C/2 + 100° = 180°. Отсюда A + C/2 = 80°.
  14. Шаг 11: Мы знаем, что A + C = 90°.
  15. Шаг 12: Подставим A = 90° - C в уравнение A + C/2 = 80°: (90° - C) + C/2 = 80°.
  16. Шаг 13: 90° - C/2 = 80°.
  17. Шаг 14: C/2 = 90° - 80° = 10°.
  18. Шаг 15: C = 20°.
  19. Шаг 16: Теперь найдем A: A = 90° - C = 90° - 20° = 70°.
  20. Проверка: Углы треугольника: 70°, 90°, 20°. Наибольший острый угол = 70°. Биссектриса проведена из угла 20°. Это не наибольший острый угол.
  21. Предположим, что биссектриса проведена из наибольшего острого угла A = 70°. Тогда угол CAD = Угол BAD = 35°.
  22. Шаг 17: Рассмотрим треугольник BDC. Угол B = 90°. Угол DBC = B = 90°. Угол BCD = C = 20°. Угол BDC = 180 - 90 - 20 = 70°.
  23. Шаг 18: Рассмотрим треугольник ABD. Угол BAD = 35°. Угол B = 90°. Угол ADB = 180 - 35 - 90 = 55°.
  24. Шаг 19: По условию, угол, под которым биссектриса пересекает гипотенузу, равен 80°. Это угол ADB или BDC. В нашем случае 55° и 70°.
  25. Снова перечитаем условие: «биссектриса наибольшего угла пересекает гипотенузу под углом 80°». Вероятно, имеется в виду наибольший угол, который не является прямым, т.е. наибольший острый угол.
  26. Пусть наибольший острый угол равен $$eta$$, а меньший острый угол равен $$\alpha$$. Тогда $$\alpha + \beta = 90°$$.
  27. Шаг 20: Биссектриса проведена из вершины угла $$eta$$. Она делит этот угол на $$\beta/2$$.
  28. Шаг 21: Рассмотрим треугольник, образованный этой биссектрисой, гипотенузой и другим катетом. Пусть биссектриса проведена из вершины угла $$eta$$, и она пересекает катет, противолежащий углу $$\alpha$$, в точке D.
  29. Шаг 22: Пусть треугольник ABC, где $$\angle B = 90°$$. Пусть $$\angle C = \beta$$ (наибольший острый угол), $$\angle A = \alpha$$ (меньший острый угол). Тогда $$\alpha + \beta = 90°$$.
  30. Шаг 23: Биссектриса угла C пересекает гипотенузу AB в точке D. Угол ACD = Угол BCD = $$\beta/2$$.
  31. Шаг 24: Рассмотрим треугольник BCD. Угол B = 90°. Угол BCD = $$\beta/2$$. Угол CDB = 80°.
  32. Шаг 25: Сумма углов в треугольнике BCD: $$90° + \beta/2 + 80° = 180°$$.
  33. Шаг 26: $$170° + \beta/2 = 180°$$.
  34. Шаг 27: $$\beta/2 = 10°$$.
  35. Шаг 28: $$\beta = 20°$$.
  36. Шаг 29: Тогда $$\alpha = 90° - \beta = 90° - 20° = 70°$$.
  37. Проверка: Если $$\beta = 20°$$ и $$\alpha = 70°$$, то $$eta$$ не является наибольшим острым углом.
  38. Значит, биссектриса проведена из вершины угла $$\alpha$$.
  39. Шаг 30: Пусть $$\angle A = \beta$$ (наибольший острый угол), $$\angle C = \alpha$$ (меньший острый угол). Тогда $$\alpha + \beta = 90°$$.
  40. Шаг 31: Биссектриса угла A пересекает гипотенузу BC в точке D. Угол BAD = Угол CAD = $$\beta/2$$.
  41. Шаг 32: Рассмотрим треугольник ACD. Угол C = $$\alpha$$. Угол CAD = $$\beta/2$$. Угол ADC = 80° (по условию).
  42. Шаг 33: Сумма углов в треугольнике ACD: $$\alpha + \beta/2 + 80° = 180°$$.
  43. Шаг 34: $$\alpha + \beta/2 = 100°$$.
  44. Шаг 35: Мы знаем, что $$\alpha = 90° - \beta$$. Подставим это в уравнение: $$(90° - \beta) + \beta/2 = 100°$$.
  45. Шаг 36: $$90° - \beta/2 = 100°$$.
  46. Шаг 37: $$-\beta/2 = 10°$$, что невозможно, так как угол не может быть отрицательным.
  47. Возвращаемся к варианту, где биссектриса из вершины C, а угол CDB = 80°.
  48. Шаг 38: В треугольнике BCD: $$\angle B = 90°$$, $$\angle BCD = C/2$$, $$\angle CDB = 80°$$. Это невозможно, так как $$90° + 80° = 170°$$, а $$C/2$$ должно быть 10°, что значит $$C = 20°$$. Если $$C=20°$$, то $$A = 70°$$. В этом случае C не наибольший острый угол.
  49. Возможен другой вариант: биссектриса проведена из вершины A.
  50. Шаг 39: Пусть $$\angle A = \beta$$ (наибольший острый угол), $$\angle C = \alpha$$ (меньший острый угол). $$\alpha + \beta = 90°$$.
  51. Шаг 40: Биссектриса угла A пересекает гипотенузу BC в точке D. Угол BAD = Угол CAD = $$\beta/2$$.
  52. Шаг 41: Угол ADC является внешним углом для треугольника ABD. Тогда $$\angle ADC = \angle B + \angle BAD = 90° + \beta/2$$.
  53. Шаг 42: Или, если биссектриса пересекает гипотенузу AB, то это нелогично.
  54. Шаг 43: Скорее всего, имеется в виду, что биссектриса наибольшего *острого* угла делит этот угол, и угол, образованный биссектрисой и гипотенузой, равен 80°.
  55. Шаг 44: Пусть наибольший острый угол — $$eta$$, а меньший — $$\alpha$$. $$\alpha + \beta = 90°$$.
  56. Шаг 45: Биссектриса проведена из вершины $$eta$$. Она делит этот угол на $$\beta/2$$.
  57. Шаг 46: Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой, гипотенузой и катетом. Пусть биссектриса угла $$eta$$ (угол A) пересекает катет BC в точке D. Тогда $$\angle ADB = 80°$$.
  58. Шаг 47: В треугольнике ABD: $$\angle B = 90°$$, $$\angle BAD = \beta/2$$. $$\angle ADB = 180° - 90° - \beta/2 = 90° - \beta/2$$.
  59. Шаг 48: По условию, $$\angle ADB = 80°$$. Значит, $$90° - \beta/2 = 80°$$.
  60. Шаг 49: $$\beta/2 = 10°$$.
  61. Шаг 50: $$\beta = 20°$$.
  62. Шаг 51: Тогда $$\alpha = 90° - 20° = 70°$$.
  63. Проверка: Если $$eta=20°$$ и $$\alpha=70°$$, то $$eta$$ не является наибольшим острым углом.
  64. Рассмотрим случай, когда биссектриса проведена из вершины меньшего острого угла $$\alpha$$.
  65. Шаг 52: Пусть $$\angle C = \beta$$ (наибольший острый угол), $$\angle A = \alpha$$ (меньший острый угол). $$\alpha + \beta = 90°$$.
  66. Шаг 53: Биссектриса угла A пересекает гипотенузу BC в точке D. Угол CAD = $$\alpha/2$$.
  67. Шаг 54: Рассмотрим треугольник ACD. $$\angle C = \beta$$. $$\angle CAD = \alpha/2$$. $$\angle ADC = 80°$$.
  68. Шаг 55: Сумма углов в ACD: $$eta + \alpha/2 + 80° = 180°$$.
  69. Шаг 56: $$eta + \alpha/2 = 100°$$.
  70. Шаг 57: Подставим $$eta = 90° - \alpha$$: $$(90° - \alpha) + \alpha/2 = 100°$$.
  71. Шаг 58: $$90° - \alpha/2 = 100°$$.
  72. Шаг 59: $$-\alpha/2 = 10°$$, что невозможно.
  73. Условие «пересекает гипотенузу» означает, что биссектриса проведена из вершины одного из острых углов и заканчивается на противоположном катете или на гипотенузе.
  74. Шаг 60: Вернемся к первому случаю, когда биссектриса проведена из вершины C, и угол CDB = 80°.
  75. Шаг 61: Треугольник BCD: $$\angle B = 90°$$. $$\angle BCD = C/2$$. $$\angle CDB = 80°$$. Это невозможно, так как сумма углов уже 170°.
  76. Шаг 62: Значит, биссектриса проведена из вершины A. Пусть $$\angle A = \beta$$ (наибольший острый), $$\angle C = \alpha$$ (меньший острый).
  77. Шаг 63: Биссектриса угла A пересекает гипотенузу BC в точке D. Тогда $$\angle ADB = 80°$$.
  78. Шаг 64: В треугольнике ABD: $$\angle B = 90°$$, $$\angle BAD = \beta/2$$. $$\angle ADB = 80°$$.
  79. Шаг 65: Сумма углов в ABD: $$90° + \beta/2 + 80° = 180°$$.
  80. Шаг 66: $$170° + \beta/2 = 180°$$.
  81. Шаг 67: $$\beta/2 = 10°$$.
  82. Шаг 68: $$\beta = 20°$$.
  83. Шаг 69: Тогда $$\alpha = 90° - 20° = 70°$$.
  84. Шаг 70: В этом случае $$eta=20°$$ не является наибольшим острым углом, а $$\alpha=70°$$ является.
  85. Итак, биссектриса проведена из вершины меньшего острого угла ($$\\alpha$$).
  86. Шаг 71: Пусть $$\angle A = \alpha$$ (меньший острый), $$\angle C = \beta$$ (наибольший острый). $$\alpha + \beta = 90°$$.
  87. Шаг 72: Биссектриса угла A пересекает гипотенузу BC в точке D. Угол CAD = $$\alpha/2$$.
  88. Шаг 73: Угол ADB является внешним углом для треугольника ACD.
  89. Шаг 74: $$\angle ADB = \angle C + \angle CAD = \beta + \alpha/2$$.
  90. Шаг 75: По условию, $$\angle ADB = 80°$$.
  91. Шаг 76: Значит, $$eta + \alpha/2 = 80°$$.
  92. Шаг 77: Подставим $$eta = 90° - \alpha$$: $$(90° - \alpha) + \alpha/2 = 80°$$.
  93. Шаг 78: $$90° - \alpha/2 = 80°$$.
  94. Шаг 79: $$\alpha/2 = 10°$$.
  95. Шаг 80: $$\alpha = 20°$$.
  96. Шаг 81: Тогда $$eta = 90° - 20° = 70°$$.
  97. Проверка: Наибольший острый угол $$eta = 70°$$. Меньший острый угол $$\alpha = 20°$$. Биссектриса проведена из угла A (20°). Угол ADB = 80°.
  98. Это соответствует условию: $$eta=70°$$ (наибольший острый угол). Биссектриса проведена из угла $$\alpha=20°$$. Угол ADB = $$\beta + \alpha/2 = 70° + 20°/2 = 70° + 10° = 80°$$.
  99. Итак, острые углы треугольника равны 70° и 20°.

Ответ: 70° и 20°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю