В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом при вершине C острый угол CDE имеет величину 34°. Проведены медиана CM и биссектриса CL. Определите величины следующих углов.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем угол CED.
   В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
   \( \angle CED + \angle CDE = 90° \)
   \( \angle CED + 34° = 90° \)
   \( \angle CED = 90° - 34° = 56° \)
2. Шаг 2: Найдем угол ECL.
   CL — биссектриса угла CDE. Значит, она делит угол CDE пополам.
   \( \angle ECL = \frac{1}{2} \angle DCE \)
   Угол CDE = 34°, следовательно, \( \angle ECD = 34° / 2 = 17° \).
   Угол DCE = 90°.
   \( \angle ECL = \frac{1}{2} \times 90° = 45° \).
3. Шаг 3: Найдем угол LMC.
   CM — медиана. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
   \( CM = AM = BM \).
   Рассмотрим треугольник CMD. Так как CM = MD, то треугольник CMD равнобедренный.
   \( \angle MCD = \angle MDC = 34° \).
4. Шаг 4: Найдем угол EMC.
   Угол DMC — внешний угол треугольника CME.
   \( \angle DMC = \angle MEC + \angle MCE \).
   \( \angle MEC = 56° \).
   \( \angle MCE = \angle DCE - \angle DCM \).
   \( \angle DCE = 90° \) - угол прямоугольного треугольника.
   \( \angle DCM = \angle ECD - \angle ECL \)
   \( \angle ECD = 34° \) - угол CDE, известный из условия.
   \( \angle ECL = 17° \) - из шага 2.
   \( \angle DCM = 34° - 17° = 17° \).
   \( \angle MCE = 90° - 17° = 73° \).
   \( \angle DMC = 56° + 73° = 129° \).
5. Шаг 5: Найдем угол CLM.
   Рассмотрим треугольник CLM.
   \( \angle CLM + \angle LMC + \angle MCL = 180° \)
   \( \angle LMC = 180° - \angle DMC \) (смежные углы)
   \( \angle LMC = 180° - 129° = 51° \)
   \( \angle MCL = \angle ECD - \angle ECL \)
   \( \angle MCL = 34° - 17° = 17° \)
   \( \angle CLM + 51° + 17° = 180° \)
   \( \angle CLM = 180° - 68° = 112° \).

Ответ:

• ∠CED = 56°
• ∠CLM = 112°
• ∠EMC = 51°