В прямоугольном треугольнике $$CDE$$ с прямым углом при вершине $$C$$ острый угол $$CDE$$ имеет величину $$34°$$. Проведены медиана $$CM$$ и биссектриса $$CL$$. Определите величины следующих углов. ∠CED = ∠CLM =

Решение:

• Шаг 1: Найдём \( \angle CED \)

В прямоугольном треугольнике \( CDE \) угол \( \angle C = 90° \), а \( \angle CDE = 34° \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180° \). Следовательно:

\[\angle CED = 180° - (\angle C + \angle CDE) = 180° - (90° + 34°) = 180° - 124° = 56°\]

• Шаг 2: Найдём \( \angle DCE \)

Так как \( \angle DCE \) является прямым углом, то \( \angle DCE = 90° \).

• Шаг 3: Найдём \( \angle LCE \)

\( CL \) - биссектриса угла \( DCE \), значит, она делит угол пополам:

\[\angle LCE = \frac{1}{2} \cdot \angle DCE = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°\]

• Шаг 4: Найдём \( \angle ECM \)

\( CM \) - медиана, проведённая к гипотенузе \( DE \). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть \( CM = ME \). Значит, треугольник \( CME \) - равнобедренный, и углы при основании равны:

\[\angle CEM = \angle ECM = 56°\]

• Шаг 5: Найдём \( \angle LCM \)

Чтобы найти \( \angle LCM \), вычтем из \( \angle ECM \) угол \( \angle LCE \):

\[\angle LCM = \angle ECM - \angle LCE = 56° - 45° = 11°\]

• Шаг 6: Найдём \( \angle CLM \)

В равнобедренном треугольнике \( CME \) углы при основании равны, то есть \( \angle CEM = \angle ECM = 56° \). Сумма углов в треугольнике \( CLM \) равна \( 180° \). Рассмотрим треугольник \( CLM \). Угол \( \angle CML \) является внешним углом треугольника \( CME \) и равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

\[\angle CML = \angle LCE + \angle CED = 45° + 56° = 101°\]

Теперь найдём \( \angle CLM \):

\[\angle CLM = 180° - (\angle LCM + \angle CML) = 180° - (11° + 101°) = 180° - 112° = 68°\]

Ответ:

\( \angle CED = 56° \)

\( \angle CLM = 68° \)