3. В прямоугольном треугольнике DEF (ZF = 90°) проведены медиана FM и высота FН. Гипотенуза DE = 26 см. а) Найдите длину медианы FM. б) Высота FH делит гипотенузу на отрезки DH и НЕ. Найдите отрезок DH, если известно, что катет DF = 10 см.

Решение

а) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Значит, длина медианы FM равна половине длины гипотенузы DE.

DE = 26 см, следовательно, FM = DE / 2 = 26 / 2 = 13 см.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник DEF, в котором FH является высотой, опущенной на гипотенузу DE. Известно, что DF = 10 см. Пусть DH = x, тогда HE = DE - DH = 26 - x.

Применим свойство высоты в прямоугольном треугольнике: высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. В нашем случае:

FH² = DH * HE

Также можем выразить FH² через катет DF и гипотенузу DH в треугольнике DFH:

DF² = DH * DE (свойство катета в прямоугольном треугольнике)

10² = x * 26

100 = 26x

x = 100 / 26 = 50 / 13 ≈ 3.85 см.

Ответ: а) FM = 13 см, б) DH ≈ 3.85 см

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!