В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17 см, а синус одного из острых углов равен 8/17. Найдите катеты треугольника.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C равен 90 градусам. Пусть гипотенуза AB = 17 см.

Пусть угол A — один из острых углов. По условию, синус угла A равен 8/17.

Вспомним определение синуса в прямоугольном треугольнике: синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Таким образом, \[ \sin(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{8}{17} = \frac{BC}{17} \]

Чтобы найти длину катета BC, умножим обе стороны уравнения на 17:

\[ BC = \frac{8}{17} \times 17 \]

\[ BC = 8 \text{ см} \]

Теперь найдем второй катет, AC. Для этого можем использовать теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \), где a и b — катеты, а c — гипотенуза.

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ AC^2 + 8^2 = 17^2 \]

\[ AC^2 + 64 = 289 \]

Вычтем 64 из обеих частей уравнения:

\[ AC^2 = 289 - 64 \]

\[ AC^2 = 225 \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ AC = \sqrt{225} \]

\[ AC = 15 \text{ см} \]

Финальный ответ:

Ответ: Катеты треугольника равны 8 см и 15 см.