В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17 см, а синус одного из острых углов равен 8/17. Найдите катеты треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^ \). Гипотенуза \( c = AB = 17 \) см.

Пусть \( \alpha \) — один из острых углов, например, \( \alpha = \angle A \). По условию \( \sin \alpha = \frac{8}{17} \).

Известно, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. То есть, \( \sin \alpha = \frac{a}{c} \), где \( a \) — катет, противолежащий углу \( \alpha \).

Подставим известные значения: \( \frac{8}{17} = \frac{a}{17} \).

Отсюда следует, что \( a = 8 \) см.

Теперь найдём второй катет, \( b \), используя теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

\( 8^2 + b^2 = 17^2 \)

\( 64 + b^2 = 289 \)

\( b^2 = 289 - 64 \)

\( b^2 = 225 \)

\( b = \sqrt{225} \)

\( b = 15 \) см.

Ответ: Катеты треугольника равны 8 см и 15 см.