В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Если один острый угол равен 45°, то второй острый угол также равен \( 90° - 45° = 45° \). Следовательно, треугольник является равнобедренным.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Обозначим катеты как \( a \) и \( b \), а гипотенузу как \( c \). По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Так как \( a = b \) и \( c = 70 \):

\[ a^2 + a^2 = 70^2 \]

\[ 2a^2 = 4900 \]

\[ a^2 = \frac{4900}{2} = 2450 \]

\[ a = \sqrt{2450} = \sqrt{1225 \cdot 2} = 35\sqrt{2} \]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Так как \( a = b \):

\[ S = \frac{1}{2}a^2 \]

Используя значение \( a^2 \), которое мы нашли ранее:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2450 = 1225 \]

Ответ: Площадь треугольника равна 1225.