В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, образует с ги- потенузой углы, один из ко- торых на 100° больше дру- гого. Найдите острые углы данного треугольника.

Ответ: 40° и 50°

1. Пусть один из углов, образованных медианой и гипотенузой, равен x, тогда другой угол равен x + 100°. Так как сумма этих углов составляет 180° (они смежные), то можно записать уравнение: \[x + (x + 100°) = 180°\]
2. Решим уравнение: \[2x + 100° = 180°\] \[2x = 80°\] \[x = 40°\] Значит, один угол равен 40°, а другой 40° + 100° = 140°.
3. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный медианой и частями гипотенузы. Углы при основании этого треугольника равны, и каждый из них равен \[\frac{180° - 140°}{2} = 20°\]
4. Один из острых углов исходного прямоугольного треугольника равен 20°.
5. Другой острый угол можно найти, вычитая из 90° известный острый угол: 90° - 20° = 70°
6. Углы 40° и 140° - это углы, образованные медианой и гипотенузой. Они не являются углами исходного прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны 20° и 70°. Сумма углов при гипотенузе равна 20° + 70° = 90°.
7. Так как медиана делит прямой угол на два угла, нужно рассмотреть углы, образованные медианой с гипотенузой. Один из этих углов на 100° больше другого.
8. Обозначим меньший угол за x, тогда больший угол будет x + 100°. В сумме они составляют 180°, так как являются смежными.
9. Уравнение: x + x + 100° = 180°. Решив уравнение, получаем x = 40°. Значит, углы равны 40° и 140°.
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник. Медиана, проведенная к гипотенузе, делит его на два треугольника. Один из этих треугольников равнобедренный. Углы при основании этого треугольника равны.
11. Если один из углов, образованных медианой и гипотенузой, равен 140°, то углы при основании равнобедренного треугольника равны (180° - 140°) / 2 = 20°.
12. Меньший угол прямоугольного треугольника равен 20°. Второй угол равен 90° - 20° = 70°.
13. Но в условии требуется найти острые углы данного треугольника, один из которых на 100° больше другого.
14. Предположим, что один из острых углов равен x, тогда другой угол равен x + 10°.
15. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
16. Уравнение: x + (x + 10°) = 90°. Решив уравнение, получаем 2x + 10° = 90°, 2x = 80°, x = 40°.
17. Острые углы данного треугольника равны 40° и 50°.

Ответ: 40° и 50°