В прямоугольном треугольнике MKP угол K равен 90°, угол P равен 30°. Точка N лежит на KP, MN = 5 см, угол MNK равен 60°. Найти NP.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKN.

1. Так как \(\angle K=90^\circ\), \(\angle MNK=60^\circ\), то \(\angle M=30^\circ\).
2. В треугольнике MKN:
   \(KN=MN\cdot\cos60^\circ=5\cdot\frac12=2.5\) см.
3. Найдём высоту MK:
   \(MK=MN\cdot\sin60^\circ=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\) см.
4. В прямоугольном треугольнике MKP с \(\angle P=30^\circ\):
   \(\tan30^\circ=\frac{MK}{KP}\), поэтому
   \(KP=\frac{MK}{\tan30^\circ}=\frac{5\sqrt3/2}{1/\sqrt3}=\frac{15}{2}=7.5\) см.
5. Так как \(KP=KN+NP\), то
   \(NP=KP-KN=7.5-2.5=5\) см.

Ответ: 5 см.