2. В прямоугольном треугольнике MNK с гипотенузой МN и углом М равным 60° проведена высота КН. Найдите МН и NH, если МН=6см.

В прямоугольном треугольнике MNK с гипотенузой MN и углом M, равным 60°, проведена высота KH. Найти MH и NH, если MK = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник МКН, в котором угол М равен 60°.

Косинус угла M равен отношению прилежащего катета MH к гипотенузе MK:

$$\cos(M) = \frac{MH}{MK}$$ $$\cos(60°) = \frac{MH}{6}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{MH}{6}$$ $$MH = \frac{1}{2} \times 6 = 3$$

MH = 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник МКН. По теореме Пифагора:

$$MK^2 = MH^2 + KH^2$$ $$6^2 = 3^2 + KH^2$$ $$36 = 9 + KH^2$$ $$KH^2 = 36 - 9 = 27$$ $$KH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

KH = $$3\sqrt{3}$$ см.

Тангенс угла M равен отношению противолежащего катета KH к прилежащему MH:

$$\tan(M) = \frac{KH}{MH}$$ $$\tan(60°) = \frac{KH}{3}$$ $$\sqrt{3} = \frac{KH}{3}$$ $$KH = 3\sqrt{3}$$

Рассмотрим треугольник KNH, в котором угол H прямой (90°). По теореме Пифагора:

$$KN^2 = KH^2 + NH^2$$

Рассмотрим треугольник MNK. Синус угла M равен отношению противолежащего катета KN к гипотенузе MN:

$$\sin(M) = \frac{KN}{MN}$$ $$\sin(60°) = \frac{KN}{MN}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{KN}{MN}$$

Косинус угла M равен отношению прилежащего катета MK к гипотенузе MN:

$$\cos(M) = \frac{MK}{MN}$$ $$\cos(60°) = \frac{6}{MN}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{6}{MN}$$ $$MN = 12$$

MN = 12 см.

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{KN}{12}$$ $$KN = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}$$

KN = $$6\sqrt{3}$$ см.

$$KN^2 = KH^2 + NH^2$$ $$(6\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3})^2 + NH^2$$ $$36 \times 3 = 9 \times 3 + NH^2$$ $$108 = 27 + NH^2$$ $$NH^2 = 108 - 27 = 81$$ $$NH = \sqrt{81} = 9$$

NH = 9 см.

Ответ: MH = 3 см, NH = 9 см.