В прямоугольном треугольнике на рисунке проведён катет. Найдите длину этого катета, если сумма длин катетов равна 14, а площадь треугольника равна 24. Ответ дайте в виде целого числа.

Решение:

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \).
2. По условию, сумма катетов равна 14: \( a + b = 14 \).
3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).
4. По условию, площадь равна 24: \( \frac{1}{2}ab = 24 \), следовательно, \( ab = 48 \).
5. Теперь у нас есть система уравнений: \( a + b = 14 \) и \( ab = 48 \).
6. Из первого уравнения выразим \( b \): \( b = 14 - a \).
7. Подставим во второе уравнение: \( a(14 - a) = 48 \) \( 14a - a^2 = 48 \) \( a^2 - 14a + 48 = 0 \).
8. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 \).
9. Корни уравнения: \( a_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{14 + 2}{2} = 8 \) и \( a_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14 - 2}{2} = 6 \).
10. Если \( a = 8 \), то \( b = 14 - 8 = 6 \).
11. Если \( a = 6 \), то \( b = 14 - 6 = 8 \).
12. Таким образом, длины катетов равны 6 и 8. На рисунке изображён катет длиной 6.

Ответ: 6