В прямоугольном треугольнике NQM угол M равен 30°. Из вершины прямого угла проведена высота MP к гипотенузе NQ. Найдите MN, MP и NP, если MN = 36.

В треугольнике \(NQM\) угол \(M=30^\circ\), поэтому катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), в два раза меньше гипотенузы:

\[NQ=2MN=2\cdot36=72.\]

По теореме о проекции катета на гипотенузу:

\[MN^2=NQ\cdot NP.\]

Отсюда

\[NP=\frac{MN^2}{NQ}=\frac{36^2}{72}=18.\]

Высота к гипотенузе находится из равенства площадей:

\[\frac12 MN\cdot MQ=\frac12 NQ\cdot MP.\]

Так как \(MQ=MN\sqrt3=36\sqrt3\), получаем

\[MP=\frac{MN\cdot MQ}{NQ}=\frac{36\cdot36\sqrt3}{72}=18\sqrt3.\]

Ответ: \(MN=36\), \(MP=18\sqrt3\), \(NP=18\).