В прямоугольном треугольнике один из катетов равен ь, а противолежащий угол равен В. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через в и В. б) Найдите их значения, если b = 10 см, В= 50°.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Она не такая сложная, как кажется на первый взгляд.

а) Выражение другого катета, противолежащего угла и гипотенузы через b и β:

Пусть в прямоугольном треугольнике:

• Катет b известен.
• Угол β, противолежащий катету b, известен.
• Катет a — другой катет.
• Угол α — угол, противолежащий катету a.
• c — гипотенуза.

Тогда:

1. Выразим катет a:

   Мы знаем, что \[\tan(β) = \frac{b}{a}\] Отсюда \[a = \frac{b}{\tan(β)}\]

2. Выразим угол α:

   В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, поэтому \[α = 90° - β\]

3. Выразим гипотенузу c:

   Мы знаем, что \[\sin(β) = \frac{b}{c}\] Отсюда \[c = \frac{b}{\sin(β)}\]

б) Нахождение значений, если b = 10 см, β = 50°:

1. Найдем катет a:

   \[a = \frac{10}{\tan(50°)}\] Используя калькулятор, \[\tan(50°) ≈ 1.1918\] Тогда \[a ≈ \frac{10}{1.1918} ≈ 8.39\text{ см}\]

2. Найдем угол α:

   \[α = 90° - 50° = 40°\]

3. Найдем гипотенузу c:

   \[c = \frac{10}{\sin(50°)}\] Используя калькулятор, \[\sin(50°) ≈ 0.7660\] Тогда \[c ≈ \frac{10}{0.7660} ≈ 13.05\text{ см}\]

Ответ:

• Другой катет: \[a ≈ 8.39 \text{ см}\]
• Противолежащий угол: \[α = 40°\]
• Гипотенуза: \[c ≈ 13.05 \text{ см}\]