В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60°, а к нему катет равен 12 см. Найдите длины отрезков, на которые этот катет делит гипотенузу, проведённая из вершины прямого угла.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 60^{\circ} \), \( BC = 12 \) см. Найти: \( AH \) и \( HB \).

1. \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \) по свойству острых углов прямоугольного треугольника.
2. Катет \( BC \) лежит против угла в \( 30^{\circ} \), поэтому \( BC = \frac{1}{2} AB \). Отсюда \( AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 12 = 24 \) см.
3. \( \triangle BCH \) — прямоугольный, так как \( CH \) — высота, и \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
4. \( BH \) — катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), поэтому \( BH = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) см.
5. \( AB = AH + HB \), откуда \( AH = AB - HB = 24 - 6 = 18 \) см.

Ответ: 18 см и 6 см.