5. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а гипотенуза 16 см. Из вершины прямого угла опущена высота. Найдите меньший из отрезков на которые разбивается гипотенуза.

Ответ: 4 см

Разбираемся:

1. В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен 60°, то другой острый угол равен 30° (90° - 60° = 30°). Обозначим этот треугольник как ABC, где угол C прямой (90°), угол A равен 60°, а угол B равен 30°.

2. Высота, опущенная из вершины прямого угла C, разделит гипотенузу AB на два отрезка. Обозначим точку, где высота пересекает гипотенузу, как H. Таким образом, гипотенуза AB делится на отрезки AH и HB.

3. Рассмотрим треугольник ACH. В этом треугольнике угол ACH равен 30°, так как угол A равен 60°, а угол AHC прямой (90°). Аналогично, в треугольнике BCH угол BCH равен 60°, так как угол B равен 30°, а угол BHC прямой (90°).

4. В треугольнике ACH, катет AH лежит против угла в 30°. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Гипотенузой в треугольнике ACH является катет AC исходного треугольника ABC.

5. Найдем катет AC в треугольнике ABC. Так как угол B равен 30°, то катет AC, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы AB. Гипотенуза AB равна 16 см, следовательно, AC = 16 / 2 = 8 см.

6. Теперь, зная, что AC = 8 см, найдем отрезок AH. Так как в треугольнике ACH катет AH лежит против угла в 30°, то AH = AC / 2 = 8 / 2 = 4 см.

7. Найдем отрезок HB. Так как AB = AH + HB, то HB = AB - AH = 16 - 4 = 12 см.

8. Меньший из отрезков, на которые разбивается гипотенуза, это AH = 4 см.

Ответ: 4 см