В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, гипотенуза равна 12 см. Найдите больший из отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Один из острых углов равен \( 60^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 60^{\circ} \), тогда \( \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \). Гипотенуза \( AB = 12 \) см.

Проведем высоту CH к гипотенузе AB. Высота делит гипотенузу на два отрезка: AH и HB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. \( \angle CAH = 60^{\circ} \), \( \angle ACH = 90^{\circ} \). В этом треугольнике катет AH лежит против угла \( 30^{\circ} \) (так как \( \angle ACB = 90^{\circ} \), \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \), и \( \angle ACH = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \)).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. Применим это к треугольнику ABC: катет BC лежит против угла \( 60^{\circ} \) и катет AC лежит против угла \( 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

AC = AB \( \cdot \cos(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \) см.

BC = AB \( \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем \( \angle A = 60^{\circ} \). Гипотенуза AC = 6 см.

AH = AC \( \cdot \cos(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.

HB = AB - AH = 12 - 3 = 9 \) см.

Сравним отрезки AH и HB: AH = 3 см, HB = 9 см. Больший отрезок равен 9 см.

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle B = 30^{\circ} \). Высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH и HB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. \( \angle B = 30^{\circ} \). Гипотенуза BC = \( 6\sqrt{3} \) см.

HB = BC \( \cdot \cos(30^{\circ}) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \) см.

AH = AB - HB = 12 - 9 = 3 \) см.

Больший отрезок равен 9 см.

Ответ: 9 см.