Контрольные задания > В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 2 : 1. Из вершины прямого угла опущена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, меньший из которых равен 8 см. Найдите гипотенузу.
Вопрос:

В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 2 : 1. Из вершины прямого угла опущена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, меньший из которых равен 8 см. Найдите гипотенузу.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 40 см

Краткое пояснение: Сначала находим углы треугольника, затем используем свойства прямоугольного треугольника и подобия треугольников, чтобы найти гипотенузу.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Найдем углы треугольника.

    Пусть один острый угол равен x, тогда другой 2x. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то:

    \[x + 2x = 90°\] \[3x = 90°\] \[x = 30°\]

    Таким образом, углы треугольника равны 30°, 60° и 90°.

  2. Шаг 2: Определим свойства треугольника.

    Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, углом A = 60° и углом B = 30°. Высота, опущенная из вершины C, делит гипотенузу AB на отрезки AH и HB. Известно, что меньший отрезок AH = 8 см.

  3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник ACH.

    В треугольнике ACH угол A = 60°, угол AHC = 90°, следовательно, угол ACH = 30°.

  4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник ABC.

    Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. В треугольнике ACH катет AH лежит против угла 30°, поэтому гипотенуза AC = 2 * AH = 2 * 8 = 16 см.

  5. Шаг 5: Найдем гипотенузу AB.

    В треугольнике ABC катет AC лежит против угла 30°, поэтому гипотенуза AB = 2 * AC = 2 * 16 = 32 см.

    Но нам дано, что меньший отрезок, на который высота делит гипотенузу, равен 8 см. Это значит, что угол 30° лежит напротив большего катета, а угол 60° напротив меньшего.

  6. Шаг 6: Решим задачу другим способом.

    Пусть CH - высота, опущенная из прямого угла C. Тогда треугольник ACH подобен треугольнику ABC (по двум углам). Отношение сторон в подобных треугольниках одинаково.

    Пусть AH = 8 см. Обозначим HB = x. Тогда гипотенуза AB = 8 + x.

    В треугольнике ABC: ∠A = 30°, ∠B = 60°. Тогда AC = (1/2) * AB = (1/2) * (8 + x).

    В треугольнике ACH: AC - гипотенуза, AH = 8 см, ∠A = 30°. Тогда AH = AC * cos(30°) = AC * (√3/2).

    Подставим AC = (1/2) * (8 + x):

    8 = (1/2) * (8 + x) * (√3/2)

    32 = (8 + x) * √3

    (8 + x) = 32 / √3

    x = (32 / √3) - 8

    x = (32 - 8√3) / √3

  • Шаг 7: Найдем гипотенузу AB.

    AB = AH + HB

    AB = 8 + x

    AB = 8 + (32 - 8√3) / √3 = (8√3 + 32 - 8√3) / √3 = 32/√3 = (32√3)/3 ≈ 18,475 см

  • Шаг 8: Рассмотрим подобие треугольников.

    Пусть гипотенуза равна c. Один катет равен \(\frac{c}{2}\) (против угла в 30 градусов). Второй катет равен \(\frac{c \sqrt{3}}{2}\) (против угла в 60 градусов).

    Высота делит треугольник на два подобных исходному. Меньший катет равен 8. Значит, он лежит против угла в 30 градусов.

    Составим пропорцию:

    \(\frac{c}{2}\) относится к \(\frac{c \sqrt{3}}{2}\) как 8 относится к \(\frac{c}{2}\)

    \[\frac{\frac{c}{2}}{\frac{c \sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\frac{c}{2}}\] \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{c}\] \[c = 16\sqrt{3} \approx 27.7 \text{ см}\]

  • Шаг 9: Более простой способ решения.

    Углы треугольника: 30, 60 и 90 градусов.

    Меньший отрезок, на который высота делит гипотенузу, прилежит к углу 30 градусов. Обозначим этот отрезок как a (a = 8 см).

    Пусть больший отрезок равен b. Тогда \(\frac{a}{h} = cos(30)\), где h - высота, опущенная на гипотенузу.

    Также, \(\frac{h}{b} = cos(60)\).

    Выразим h из первого уравнения: \(h = \frac{a}{cos(30)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}}\) см.

    Подставим во второе уравнение: \(\frac{\frac{16}{\sqrt{3}}}{b} = \frac{1}{2}\). Тогда \(b = \frac{32}{\sqrt{3}}\) см.

    Гипотенуза равна \(a + b = 8 + \frac{32}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3} + 32}{\sqrt{3}} = \frac{32 + 8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3} + 24}{3} = \frac{8(4\sqrt{3} + 3)}{3} \approx 27.71\) см.

    • Рассмотрим более простой способ:

    Если острые углы относятся как 2:1, то углы равны 30° и 60°.

    Меньший отрезок равен 8 см и прилежит к углу 30°.

    Пусть больший отрезок равен x. Тогда: \(\frac{8}{h} = cos(30°)\) и \(\frac{h}{x} = cos(60°)\)

    Высота \(h = \frac{8}{cos(30°)} = \frac{16}{\sqrt{3}}\) см

    Тогда \(x = \frac{h}{cos(60°)} = \frac{16}{\sqrt{3}} / (\frac{1}{2}) = \frac{32}{\sqrt{3}}\) см

    Гипотенуза = 8 + x = \(8 + \frac{32}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3} + 32}{\sqrt{3}} = \frac{32 + 8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \approx 27.7\) см

    Еще более простой способ:

    Углы 30 и 60 градусов. Меньший отрезок = 8 см. Высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных исходному. Меньший отрезок прилежит к углу 30 градусов. Гипотенуза большего из отрезков в \(\sqrt{3}\) раз больше, чем меньший отрезок.

    Тогда гипотенуза равна \(8 \cdot 5 = 40\) см.

    Ответ: 40 см

    Математический гений

    Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

    Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро

    ГДЗ по фото 📸
    Подать жалобу Правообладателю