В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°, а биссектриса этого угла = 8 см. Найдите длину катета, лежащего против этого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник (ABC), где (\angle C = 90^{\circ}), (\angle A = 60^{\circ}). Тогда (\angle B = 30^{\circ}). Пусть (CD) - биссектриса угла (\angle C), и (CD = 8) см. Нужно найти длину катета (BC). Рассмотрим треугольник (ADC). (\angle DAC = 60^{\circ}), а (\angle ACD = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}). Тогда (\angle ADC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ}). Теперь рассмотрим треугольник (BDC). (\angle DBC = 30^{\circ}), а (\angle BCD = 45^{\circ}). Тогда (\angle BDC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}). Применим теорему синусов к треугольнику (ADC): $$\frac{AC}{\sin{\angle ADC}} = \frac{CD}{\sin{\angle DAC}}$$ $$AC = \frac{CD \cdot \sin{\angle ADC}}{\sin{\angle DAC}} = \frac{8 \cdot \sin{75^{\circ}}}{\sin{60^{\circ}}} = \frac{8 \cdot \sin{75^{\circ}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \sin{75^{\circ}}$$ Применим теорему синусов к треугольнику (BDC): $$\frac{BC}{\sin{\angle BDC}} = \frac{CD}{\sin{\angle DBC}}$$ $$BC = \frac{CD \cdot \sin{\angle BDC}}{\sin{\angle DBC}} = \frac{8 \cdot \sin{105^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}} = \frac{8 \cdot \sin{105^{\circ}}}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot \sin{105^{\circ}}$$ Так как (\sin{105^{\circ}} = \sin{(60^{\circ} + 45^{\circ})} = \sin{60^{\circ}}\cos{45^{\circ}} + \cos{60^{\circ}}\sin{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) (BC = 16 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})) Ответ: (4(\sqrt{6} + \sqrt{2})) см