В прямоугольном треугольнике PQR с прямым углом при вершине R острый угол RPQ имеет величину 18°. Проведены медиана RM и биссектриса RL. Определите величины следующих углов.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( \triangle PQR \), где \( \angle R = 90^{\circ} \). Известно, что \( \angle RPQ = 18^{\circ} \).

1. Нахождение \( \angle PQR \):

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle PQR = 180^{\circ} - \angle R - \angle RPQ = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ} \).

2. Угол, образованный биссектрисой RL:

Биссектриса RL делит угол \( \angle PRQ \) пополам. Однако, в условии указано, что острый угол \( \angle RPQ = 18^{\circ} \), а прямой угол при вершине \( R \). Вероятно, имеется в виду, что \( \angle PRQ \) является прямым, то есть \( \angle PRQ = 90^{\circ} \), и \( \angle RPQ = 18^{\circ} \) - это один из острых углов. Тогда \( \angle PQR = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ} \).

Если \( RL \) - биссектриса \( \angle PRQ \), то \( \angle PRL = \angle QRL = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \). Но это не соответствует рисунку, где \( R \) - вершина прямого угла, \( Q \) и \( P \) - вершины острых углов. Предположим, что \( \angle PRQ = 90^{\circ} \) и \( \angle RPQ = 18^{\circ} \).

Биссектриса RL делит \( \angle PRQ \). Если \( RL \) - биссектриса \( \angle PRQ \), то \( \angle PRL = \angle QRL = 45^{\circ} \).

3. Угол, образованный медианой RM:

RM - медиана, проведенная к гипотенузе QP. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это означает, что \( \triangle RMP \) и \( \triangle RMQ \) - равнобедренные. \( RM = MP = MQ \).

4. Углы, образованные медианой и биссектрисой:

\( \angle RPL = 18^{\circ} \). \( RL \) - биссектриса \( \angle PRQ \). Предположим, что \( \angle PRQ = 90^{\circ} \) и \( \angle RPQ = 18^{\circ} \). Тогда \( \angle PQR = 72^{\circ} \).

Если \( RL \) - биссектриса \( \angle PRQ \), то \( \angle PRL = \angle QRL = 45^{\circ} \).

Угол \( \angle RLM \):

\( \angle RLM = \angle RLP + \angle PLM \).

В \( \triangle PQR \), \( \angle R = 90^{\circ} \), \( \angle P = 18^{\circ} \), \( \angle Q = 72^{\circ} \).

\( RL \) - биссектриса \( \angle PRQ \). Значит, \( \angle PRL = \angle QRL = 45^{\circ} \).

\( RM \) - медиана к гипотенузе \( PQ \).

В \( \triangle RMP \), \( RM = MP \) (так как медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы). Следовательно, \( \triangle RMP \) - равнобедренный.

\( \angle MRP = \angle RPM = 18^{\circ} \).

\( \angle RLM = \angle RLP - \angle MLP \) или \( \angle RLM = \angle QRL - \angle QRM \).

\( \angle RLM \):

\( \angle QRL = 45^{\circ} \).

В \( \triangle RMQ \), \( RM = MQ \), значит \( \triangle RMQ \) - равнобедренный.

\( \angle MRQ = \angle MQR = \angle PQR = 72^{\circ} \). Это невозможно, так как \( \angle R = 90^{\circ} \).

Переосмысление условия:

В прямоугольном треугольнике PQR с прямым углом при вершине R (то есть \( \angle R = 90^{\circ} \)) острый угол RPQ имеет величину 18° (то есть \( \angle P = 18^{\circ} \)).

Тогда \( \angle Q = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ} \).

Проведены медиана RM и биссектриса RL.

1. \( \angle PQR \):

\( \angle PQR = 72^{\circ} \).

2. \( \angle RL M \):

\( RL \) - биссектриса \( \angle PRQ \). Значит, \( \angle PRL = \angle QRL = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \).

\( RM \) - медиана к гипотенузе \( PQ \). \( RM = MP = MQ \). \( \triangle RMP \) - равнобедренный, \( \angle MRP = \angle MP R = 18^{\circ} \).

\( \angle RLM \) - это угол между биссектрисой и медианой.

\( \angle RLM = | \angle QRL - \angle QRM | \) или \( \angle RLM = | \angle PRL - \angle PRM | \).

\( \angle PRM = 18^{\circ} \).

\( \angle QRM = \angle PRQ - \angle PRM = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ} \). Это неверно, так как \( \triangle RMQ \) равнобедренный.

Рассмотрим \( \triangle RMP \). \( \angle MRP = 18^{\circ} \).

В \( \triangle RMQ \), \( RM = MQ \), \( \angle MQR = 72^{\circ} \). Следовательно, \( \angle MRQ = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 72^{\circ} = 36^{\circ} \).

Проверим: \( \angle PRM + \angle MRQ = 18^{\circ} + 36^{\circ} = 54^{\circ} \). Это не \( 90^{\circ} \). Ошибка в рассуждениях.

Правильное рассуждение для \( \angle PRM \) и \( \angle MRQ \):

В \( \triangle PQR \), \( \angle P = 18^{\circ} \), \( \angle Q = 72^{\circ} \), \( \angle R = 90^{\circ} \).

\( RM \) - медиана к \( PQ \). \( RM = MP = MQ \).

В \( \triangle RMP \), \( RM = MP \), поэтому \( \angle MRP = \angle MPR = 18^{\circ} \).

В \( \triangle RMQ \), \( RM = MQ \), поэтому \( \angle MRQ = \angle MQR = 72^{\circ} \).

Проверим: \( \angle PRM + \angle MRQ = 18^{\circ} + 72^{\circ} = 90^{\circ} \). Это верно!

Теперь найдем \( \angle RLM \).

\( \angle QRL = 45^{\circ} \).

\( \angle QRM = 72^{\circ} \).

\( \angle RLM = | \angle QRL - \angle QRM | = | 45^{\circ} - 72^{\circ} | = |-27^{\circ}| = 27^{\circ} \). Но угол \( RLM \) должен быть меньше \( QRL \) или \( PRM \).

\( \angle RLM = | \angle PRL - \angle PRM | = | 45^{\circ} - 18^{\circ} | = 27^{\circ} \).

5. \( \angle ZQMR \) (предполагается \( \angle QMR \)):

\( \angle QMR = 180^{\circ} - \angle MQR - \angle MRQ = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 72^{\circ} = 36^{\circ} \). Это было бы верно, если бы \( \angle MRQ = 72^{\circ} \), но мы выяснили, что \( \angle MRQ = 72^{\circ} \) - это угол при основании равнобедренного \( \triangle RMQ \).

Угол \( \angle QMR \) является внешним углом для \( \triangle PMR \).

\( \angle QMR = \angle MPR + \angle MRP = 18^{\circ} + 18^{\circ} = 36^{\circ} \).

6. \( \angle ZLRM \) (предполагается \( \angle LRM \)):

\( \angle LRM = \angle QRL - \angle QRM = 45^{\circ} - 72^{\circ} = -27^{\circ} \). Это неверно.

\( \angle LRM = \angle PRL - \angle PRM = 45^{\circ} - 18^{\circ} = 27^{\circ} \).

Проверка:

\( \angle PRM = 18^{\circ} \).

\( \angle QRM = 72^{\circ} \).

\( \angle PRL = 45^{\circ} \).

\( \angle QRL = 45^{\circ} \).

\( \angle LRM = \angle PRL - \angle PRM = 45^{\circ} - 18^{\circ} = 27^{\circ} \).

\( \angle RLM = \angle QRL - \angle QRM = 45^{\circ} - 72^{\circ} = -27^{\circ} \). Это неверно.

По рисунку видно, что L находится между R и M.

\( \angle RLM \) - это угол между биссектрисой RL и медианой RM.

\( \angle RLM = \angle PRM - \angle PRL = 18^{\circ} - 45^{\circ} \) - отрицательное число, неверно.

\( \angle RLM = \angle QRM - \angle QRL = 72^{\circ} - 45^{\circ} = 27^{\circ} \).

Ответ:

• \( \angle PQR = 72^{\circ} \)
• \( \angle RLM = 27^{\circ} \)
• \( \angle QMR = 36^{\circ} \)
• \( \angle LRM = 27^{\circ} \)