513 В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямо- го угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипоте- нузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник квадрат.

Ответ: Доказательство в решении.

1. Обозначим прямоугольный треугольник как \(ABC\), где угол \(C\) прямой. Пусть биссектриса угла \(C\) пересекает гипотенузу \(AB\) в точке \(D\). Проведем через точку \(D\) прямые, параллельные катетам, и обозначим точки их пересечения с катетами как \(E\) на \(AC\) и \(F\) на \(BC\).

2. Поскольку \(DE \parallel BC\) и \(DF \parallel AC\), четырехугольник \(CEDF\) является параллелограммом. Так как угол \(C\) прямой, то и все углы в \(CEDF\) прямые. Значит, \(CEDF\) — прямоугольник.

3. Так как \(CD\) — биссектриса угла \(C\), то угол \(ACD\) равен углу \(BCD\) и равен 45 градусам.

4. Рассмотрим треугольник \(CDE\). Угол \(DCE\) равен 45 градусам, а угол \(DEC\) равен 90 градусам. Следовательно, угол \(CDE\) также равен 45 градусам. Значит, треугольник \(CDE\) равнобедренный, и \(CE = DE\).

5. Аналогично, треугольник \(CDF\) также равнобедренный, и \(CF = DF\). Так как \(DE = CF\) и \(CE = DF\), то все стороны прямоугольника \(CEDF\) равны между собой.

6. Таким образом, \(CEDF\) — квадрат, так как это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Ответ: Доказано, что полученный четырехугольник является квадратом.