В прямоугольном треугольнике RPQ с прямым углом Q проведена биссектриса PT. Дополните таблицу возможных значений углов PRT и RTP.

Пошаговое решение:

• Случай 1: ∠PRT = 32°
  • В прямоугольном треугольнике RPQ, ∠R + ∠P = 90°.
  • ∠R = ∠PRT = 32°.
  • Тогда ∠P = 90° - 32° = 58°.
  • Так как PT – биссектриса, то ∠RPT = ∠QPT = 58° / 2 = 29°.
  • В треугольнике RTP: ∠RTP = 180° - (∠PRT + ∠RPT) = 180° - (32° + 29°) = 180° - 61° = 119°.
• Случай 2: ∠PRT = 28°50'
  • ∠R = ∠PRT = 28°50'.
  • Тогда ∠P = 90° - 28°50' = 61°10'.
  • Так как PT – биссектриса, то ∠RPT = ∠QPT = 61°10' / 2 = 30°35'.
  • В треугольнике RTP: ∠RTP = 180° - (∠PRT + ∠RPT) = 180° - (28°50' + 30°35') = 180° - 59°25' = 120°35'.
• Случай 3: ∠RTP = 106°
  • В треугольнике RTP: ∠R + ∠RPT = 180° - ∠RTP = 180° - 106° = 74°.
  • Так как PT – биссектриса, то ∠RPT = ∠P / 2, значит ∠P = 2 * ∠RPT.
  • В прямоугольном треугольнике RPQ, ∠R + ∠P = 90°.
  • Подставляем: ∠R + 2 * ∠RPT = 90°.
  • Учитывая, что ∠R + ∠RPT = 74°, выразим ∠RPT: ∠RPT = 74° - ∠R.
  • Подставляем в предыдущее уравнение: ∠R + 2 * (74° - ∠R) = 90°.
  • ∠R + 148° - 2 * ∠R = 90°.
  • -∠R = 90° - 148° = -58°.
  • ∠R = 58°.
  • ∠PRT = 58°.
• Случай 4: ∠PRT = \(\delta\)
  • Угол \(\delta\) - это угол R.
  • В треугольнике RPQ: \(\angle P + \angle R = 90^{\circ}\).
  • \(\angle P = 90^{\circ} - \angle R = 90^{\circ} - \delta\).
  • Так как PT - биссектриса: \(\angle RPT = \frac{1}{2} \angle P = \frac{1}{2} (90^{\circ} - \delta) = 45^{\circ} - \frac{\delta}{2}\).
  • В треугольнике RTP: \(\angle RTP = 180^{\circ} - (\angle PRT + \angle RPT) = 180^{\circ} - (\delta + 45^{\circ} - \frac{\delta}{2}) = 135^{\circ} - \frac{\delta}{2}\).