1813. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 31°. Найдите больший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

1. Пусть данный прямоугольный треугольник — \( ABC \), где угол \( C \) прямой. Проведем из вершины \( C \) высоту \( CH \) и медиану \( CM \).
2. По условию, угол между высотой и медианой равен 31°, то есть \( \angle HCM = 31° \).
3. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам и равна половине гипотенузы. Значит, \( AM = BM = CM \).
4. Рассмотрим треугольник \( AMC \). Так как \( AM = CM \), то треугольник \( AMC \) равнобедренный и \( \angle MAC = \angle MCA \).
5. Пусть \( \angle MAC = x \). Тогда \( \angle MCA = x \).
6. Выразим угол \( ACB \) через \( x \) и \( \angle HCM \): \( \angle ACB = \angle MCA + \angle HCM = x + 31° \).
7. Так как \( \angle ACB = 90° \), то \( x + 31° = 90° \), откуда \( x = 59° \).
8. Найдем углы треугольника \( ABC \): \( \angle BAC = 59° \) и \( \angle ABC = 90° - 59° = 31° \).
9. Больший угол данного треугольника равен 59°.

Ответ: 59°