41. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна 4,5 см. Один из катетов равен 9 см. Найдите угол треугольника, противолежащий этому катету. Сделайте рисунок в тетради.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Рисунок:** Сначала нарисуем прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Проведем высоту CH к гипотенузе AB. Обозначим катет BC = 9 см и высоту CH = 4,5 см. Нам нужно найти угол A, противолежащий катету BC. 2. **Обозначения:** * \(BC = a = 9\) см (катет) * \(CH = h = 4,5\) см (высота к гипотенузе) * Угол \(A = \alpha\) (искомый угол) 3. **Решение:** * Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: * \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\) * \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\) * Приравняем эти выражения: \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\) \(AC \cdot BC = AB \cdot CH\) * Выразим \(\sin A\) через известные величины. В прямоугольном треугольнике ABC: \(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{AB}\) * Из равенства площадей выразим \(AB\): \(AB = \frac{AC \cdot BC}{CH}\) * Подставим это в выражение для \(\sin A\): \(\sin A = \frac{BC}{\frac{AC \cdot BC}{CH}} = \frac{CH}{AC}\) * Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH: \(\sin A = \frac{CH}{AC}\) * Мы знаем \(CH = 4,5\) см. Нужно найти \(AC\). * В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) * Также мы знаем, что площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\). Отсюда \(AC \cdot 9 = AB \cdot 4,5\), значит \(AB = 2AC\). * Подставим \(AB = 2AC\) в теорему Пифагора: \((2AC)^2 = AC^2 + 9^2\) \(4AC^2 = AC^2 + 81\) \(3AC^2 = 81\) \(AC^2 = 27\) \(AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) * Теперь найдем \(\sin A\): \(\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{4,5}{3\sqrt{3}} = \frac{1,5}{\sqrt{3}} = \frac{1,5\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) * Угол, синус которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), это 60 градусов. \(A = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ\) **Ответ:** Угол треугольника, противолежащий катету длиной 9 см, равен **60°**.