В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С на стороне ВС отметили точку Е так, что ∠AEB = 120°. Найдите АЕ, если известно, что BE = 3, AB = √19.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим треугольник ABE. Из условия задачи известно, что BE = 3, AB = √19, ∠AEB = 120°. Применим теорему косинусов для нахождения стороны AE:

   \[AB^2 = AE^2 + BE^2 - 2 \cdot AE \cdot BE \cdot \cos{\angle AEB}\]

2. Подставим известные значения:

   \[(\sqrt{19})^2 = AE^2 + 3^2 - 2 \cdot AE \cdot 3 \cdot \cos{120°}\]

   Так как cos(120°) = -0.5:

   \[19 = AE^2 + 9 - 6 \cdot AE \cdot (-0.5)\]

   \[19 = AE^2 + 9 + 3 \cdot AE\]

3. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

   \[AE^2 + 3AE - 10 = 0\]

4. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

   \[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\]

5. Найдем корни квадратного уравнения:

   \[AE_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

   \[AE_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

6. Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

   \[AE = 2\]

Ответ: 2