В прямоугольном \( \triangle ABC \) \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \), \( AC = 10 \) см. \( CD \) — высота, проведённая к стороне \( AB \), \( DE \) — перпендикуляр, проведённый из точки \( D \) к стороне \( AC \). Чему равна длина \( DE \)?

Дано:

\( \triangle ABC \) — прямоугольный.

\( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \), \( AC = 10 \) см.

\( CD \) — высота, \( CD \perp AB \).

\( DE \) — перпендикуляр, \( DE \perp AC \).

Найти:

\( DE \)

Решение:

1. В \( \triangle ABC \) \( \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
2. В прямоугольном \( \triangle ADC \) \( \angle ACD = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
3. В \( \triangle ADC \) найдём \( AD \): \( AD = AC \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
4. В \( \triangle ADC \) найдём \( CD \): \( CD = AC \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.
5. В прямоугольном \( \triangle ADE \) \( \angle ADE = 90^{\circ} \). \( DE \) — катет, противолежащий углу \( \angle A = 30^{\circ} \).
6. Найдём \( DE \) в \( \triangle ADE \): \( DE = AD \sin(30^{\circ}) = 5\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) см.

Ответ: \( DE = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) см.