В прямоугольнос треугольнике АВС: ∠C=90°, CD- высота треугольника, АС = 5, СВ = 10. Чему равно отношение площадей треугольников ACD и CDB?

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \). CD — высота треугольника, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.

По условию задачи, \( AC = 5 \) и \( CB = 10 \).

Согласно свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:

\( AC^2 = AD \cdot AB \)

\( CB^2 = DB \cdot AB \)

\( CD^2 = AD \cdot DB \)

Также, отношение квадратов катетов равно отношению отрезков, на которые высота делит гипотенузу:

\( \frac{AC^2}{CB^2} = \frac{AD}{DB} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{5^2}{10^2} = \frac{AD}{DB} \)

\( \frac{25}{100} = \frac{AD}{DB} \)

\( \frac{1}{4} = \frac{AD}{DB} \)

Таким образом, \( DB = 4 \cdot AD \).

Площадь треугольника ACD равна \( S_{ACD} = \cdot \cdot AD \cdot CD \).

Площадь треугольника CDB равна \( S_{CDB} = \cdot \cdot DB \cdot CD \).

Отношение площадей этих треугольников:

\( \frac{S_{ACD}}{S_{CDB}} = \frac{\cdot \cdot AD \cdot CD}{\cdot \cdot DB \cdot CD} = \frac{AD}{DB} \)

Мы уже нашли, что \( \frac{AD}{DB} = \frac{1}{4} \).

Следовательно, отношение площадей треугольников ACD и CDB равно 1:4.

Ответ: 1:4