В прямоугольной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(A\), величина которого равна \(45^\circ\). Найдите длину диагонали \(BD\), если меньшее основание трапеции равно \(9\sqrt{2}\).

Ответ: 18

1. Поскольку \(AC\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ / 2 = 22.5^\circ\).
2. Так как \(ABCD\) — прямоугольная трапеция, то угол \(B = 90^\circ\).
3. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Угол \(BAC = 22.5^\circ\), а угол \(B = 90^\circ\), следовательно, угол \(ACB = 180^\circ - 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ\).
4. По условию, меньшее основание трапеции \(BC = 9\sqrt{2}\).
5. В прямоугольной трапеции углы при большем основании равны \(90^\circ\), поэтому \(\angle ADC = 90^\circ\).
6. Так как сумма углов в четырехугольнике равна \(360^\circ\), то \(\angle C = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).
7. Учитывая, что \(\angle ACB = 67.5^\circ\), получаем \(\angle ACD = \angle C - \angle ACB = 135^\circ - 67.5^\circ = 67.5^\circ\).
8. Таким образом, треугольник \(ACD\) — равнобедренный, так как \(\angle CAD = \angle ACD = 67.5^\circ\). Следовательно, \(AD = CD\).
9. Так как трапеция прямоугольная, высота равна меньшему основанию: \(AB = BC = 9\sqrt{2}\).
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\). В нем \(AB = 9\sqrt{2}\) и \(AD = AB = 9\sqrt{2}\).
11. Тогда по теореме Пифагора: \[BD^2 = AB^2 + AD^2 = (9\sqrt{2})^2 + (9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 + 81 \cdot 2 = 162 + 162 = 324.\] Следовательно, \(BD = \sqrt{324} = 18\).

Ответ: 18