В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 12, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 6√3.

Дано: прямоугольная трапеция ABCD, AD ∥ BC, BD = 12, ∠A = 45°, меньшее основание равно 6√3.

Найти: большую боковую сторону.

Так как трапеция прямоугольная, AB ⟂ AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нём ∠A = 45°, значит треугольник равнобедренный прямоугольный:

\(AB = AD = \dfrac{BD}{\sqrt{2}} = \dfrac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\).

Меньшее основание равно \(6\sqrt{3}\). Поскольку \(AD = 6\sqrt{2} < 6\sqrt{3}\), меньшим основанием является \(AD\), а большим — \(BC\).

Разность оснований равна:

\(BC - AD = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{2}\).

Высота трапеции \(AB = 6\sqrt{2}\). Опустим из вершины \(C\) перпендикуляр на основание \(AD\). Получится прямоугольный треугольник с катетами \(6\sqrt{2}\) и \(6\sqrt{3} - 6\sqrt{2}\). Большая боковая сторона:

\(CD = \sqrt{\left(6\sqrt{2}\right)^2 + \left(6\sqrt{3} - 6\sqrt{2}\right)^2}\).

\(CD = \sqrt{72 + 36\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)^2}\).

\(CD = \sqrt{72 + 36\left(5 - 2\sqrt{6}\right)} = \sqrt{252 - 72\sqrt{6}}\).

Следовательно, большая боковая сторона равна \(\sqrt{252 - 72\sqrt{6}}\).

Ответ: \(\sqrt{252 - 72\sqrt{6}}\).