(17) В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите BD, если меньшее основание трапеции равно 4√2.

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AD и BC – основания, ∠BAC = ∠CAD = 45°, BC = $$4\sqrt{2}$$, ∠A = 45° + 45° = 90°. Нужно найти BD.

1. Рассмотрим треугольник AHD – прямоугольный, ∠HAD = 45°, следовательно, ∠AHD = 90°, ∠ADH = 180° - ∠HAD - ∠AHD = 180° - 45° - 90° = 45°. Получается, что треугольник AHD – равнобедренный, AH = HD. AH – высота трапеции, значит, AH = BC = $$4\sqrt{2}$$. Следовательно, HD = $$4\sqrt{2}$$.

2. AD = AH + HD = $$4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$.

3. Рассмотрим треугольник ABC – прямоугольный, ∠BAC = 45°. Значит, треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, AH = BC = $$4\sqrt{2}$$.

4. Рассмотрим треугольник ABD. По теореме косинусов:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cosA$$ $$BD^2 = (4\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot cos90°$$ $$BD^2 = 32 + 128 - 64 \cdot 0$$ $$BD^2 = 160$$ $$BD = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$$

Ответ: $$4\sqrt{10}$$