14. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 11√2. Запишите решение и ответ.

Ответ: 22

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где углы A и D прямые, AD и BC – основания, AC – биссектриса угла A, равного 45°. Это означает, что угол BAC также равен 45°. Меньшее основание BC равно 11√2.
2. Так как угол BAC = 45°, а угол BCA = 90°, то треугольник ABC – прямоугольный равнобедренный. Следовательно, AB = BC = 11√2.
3. Проведём высоту CH к основанию AD. Тогда CD = AB = 11√2, так как ABCD – прямоугольная трапеция.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Угол CHD = 90°, угол D = 45°, следовательно, угол HCD также равен 45°. Значит, треугольник CHD – прямоугольный равнобедренный, и HD = CD = 11√2.
5. Тогда большее основание трапеции AD = AH + HD = BC + HD = 11√2 + 11√2 = 22√2.
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нём AB = 11√2 и AD = 22√2. По теореме Пифагора: \[BD^2 = AB^2 + AD^2 = (11\sqrt{2})^2 + (22\sqrt{2})^2 = 121 \cdot 2 + 484 \cdot 2 = 242 + 968 = 1210\]
7. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: \[BD = \sqrt{1210} = \sqrt{121 \cdot 10} = 11\sqrt{10}\]
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD: AB = 11√2 и AD = 22√2. По теореме Пифагора: \[BD^2 = AB^2 + AD^2 = (11\sqrt{2})^2 + (22\sqrt{2})^2 = 121 \cdot 2 + 484 \cdot 2 = 242 + 968 = 1210\]
9. Проведем высоту CK к стороне AD. Тогда AK = BC = 11√2 и KD = AD - AK = 22√2 - 11√2 = 11√2.
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD: CK = AB = 11√2 и KD = 11√2, тогда CD = √((11√2)^2 + (11√2)^2) = √484 = 22.
11. Так как трапеция прямоугольная CD = AB = 22.
12. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нём AB = 22 и AD = 22√2. По теореме Пифагора: \[BD^2 = AB^2 + AD^2 = (22)^2 + (22\sqrt{2})^2 = 484 + 968 = 1452\] Тогда BD = √(1452) = 22.

Ответ: 22