В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, величина которого равна 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 9/2

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, у которой основания AD и BC, ∠A = 45°, AC - биссектриса угла A, BC = $$9\sqrt{2}$$. Необходимо найти длину диагонали BD.

Т.к. AC - биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45° : 2 = 22,5°.

Т.к. трапеция прямоугольная, то ∠ABC = 90°.

Рассмотрим треугольник ABC. Найдем угол ∠BCA:

∠BCA = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 90° - 22,5° = 67,5°.

Проведем высоту CH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем ∠CAH = 22,5°, значит ∠ACH = 90° - 22,5° = 67,5°.

Т.к. ∠BCA = ∠ACH = 67,5°, то треугольник АСD - равнобедренный с основанием CD. Следовательно, AD = AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHD. Т.к. ∠DAH = 45°, то треугольник AHD - равнобедренный, значит AH = HD.

Т.к. BC = $$9\sqrt{2}$$, то AH = $$9\sqrt{2}$$. Значит, HD = $$9\sqrt{2}$$.

Т.к. AD = AH + HD, то AD = $$9\sqrt{2} + 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$. Следовательно, AC = $$18\sqrt{2}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

$$AB^2 = AC^2 - BC^2$$

$$AB^2 = (18\sqrt{2})^2 - (9\sqrt{2})^2 = 324 \cdot 2 - 81 \cdot 2 = 648 - 162 = 486$$

$$AB = \sqrt{486} = 9\sqrt{6}$$

Т.к. CD = AH = $$9\sqrt{2}$$, то рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. По теореме Пифагора:

$$BD^2 = BC^2 + CD^2$$

$$BD^2 = (9\sqrt{2})^2 + (9\sqrt{6})^2 = 81 \cdot 2 + 81 \cdot 6 = 162 + 486 = 648$$

$$BD = \sqrt{648} = 18\sqrt{2}$$

Ответ: $$18\sqrt{2}$$